Salvador Vera

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 107
Solución. Consideramos la función vectorial
y, en esquema, resulta
g(t) = g1(t),g2(t),g3(t) =(e t , sen t, t 2 )
f(x, y, z) =xy 2 z 3 − xyz
g(t) =(e t , sen t, t 2 )
R 3 f −→ R
R g −→ R 3
de donde, la composición buscada, será:
R g −→ R 3 f −→ R
t ↦→ (x, y, z) ↦→ w
h(t) =(f ◦ g)(t) =f g(t) = f g1(t),g2(t),g3(t) = f(e t , sen t, t 2 )=
= e t sen 2 t (t 2 ) 3 − e t sen tt 2 = t 6 e t sen 2 t − t 2 e t sen t
En la práctica se pueden simplificar los cálculos, sustituyendo directamente:
f(x, y, z) =f(e t , sen t, t 2 )=e t sen 2 t (t 2 ) 3 −e t sen tt 2 = t 6 e t sen 2 t−t 2 e t sen t = h(t)
En este caso, también es posible la composición en el orden inverso. En
efecto, tenemos
f(x, y, z) =xy 2 z 3 − xyz
g(t) =(e t , sen t, t 2 )
R 3 f −→ R
R g −→ R 3
de donde, la composición buscada, será:
R 3 f −→ R g −→ R 3
(x, y, z) ↦→ t ↦→ w
h(x, y, z) =(g ◦ f)(x, y, z) =g f(x, y, z) = g xy 2 z 3 − xyz =
= e xy2 z 3 −xyz , sen (xy 2 z 3 − xyz), (xy 2 z 3 − xyz) 2
Ejemplo 2.7. Hallar la función compuesta de la función f(x, y) =xy 2 −xy
con las funciones g(t) = √ t
Solución. Este caso es distinto de los dos anteriores, ya que aquí, para poder
componer, la función f tiene que actuar primero, y después la g. En efecto,
en esquema, resulta
f(x, y) =xy 2 − xy
g(t) = √ t
R 2 f −→ R
R g −→ R
de donde, la composición buscada, será:
h(t) =(g ◦ f)(x, y) =g f(x, y) = f(x, y) =
R 2 f −→ R g −→ R
(x, y) ↦→ t ↦→ z
xy 2 − xy
Nótese que la función resultante de la composición solamente estará definida
para aquellos puntos (x, y) en los cuales se cumpla que xy 2 −xy ≥ 0, es decir,
Dh = {(x, y) ∈ R 2 /xy 2 − xy ≥ 0}