Salvador Vera

1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 21
Nota: La ecuación general Ax 2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 no siempre representa una
circunferencia, sino que, en algunas ocasiones se reduce a un punto, y en otras no tiene
solución
b) La esfera en el espacio. Teniendo en cuenta que la superficie esférica
de centro (x0,y0,z0) yradior está formada por los puntos del espacio cuya
distancia al centro (x0,y0,z0) eselradior, resulta la siguiente
Proposición 1.5 (Ecuación de la superficie esférica). El punto
(x, y, z) está en la superficie esférica de centro (x0,y0,x0) y radio r si
ysólo si
(x − x0) 2 +(y − y0) 2 +(z − z0) 2 = r 2
(1.5)
Demostración. En efecto, si (x, y, z) es un punto de la superficie esférica, su
distancia al centro (x0,y0,z0), será r. En consecuencia
(x − x0) 2 +(y − y0) 2 +(z − z0) 2 = r
y elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene la ecuación
de la superficie esférica
(x − x0) 2 +(y − y0) 2 +(z − z0) 2 = r 2
Si la esfera tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0, 0) y radio
r, la ecuación de la superficie esférica será
x 2 + y 2 + z 2 = r 2
Se llama esfera o bola al interior de una superficie esférica. En consecuencia
Proposición 1.6 (Ecuación de una esfera o bola). El punto (x, y, z)
está enlaesferadecentro(x0,y0,z0) y radio r si y sólo si
(x − x0) 2 +(y − y0) 2 +(z − z0) 2