Salvador Vera

5.1. LA ESTIMACIÓN DE UN ÁREA. SUMAS DE RIEMANN. 331
Cálculo de integrales mediante áreas
Lo normal será calcularáreas a partir del concepto de integral. No obstante,
en ocasiones, el significado gráfico de la integral nos permitirá calcular algunas
integrales mediante áreas.
Ejemplo 5.1. Hallar gráficamente la siguiente integral:
4
1
(x − 2) dx
Solución. Representamos la función y = x − 2 y hallamos las áreas correspondientes.
y
✻
1 4
Figura 5.4:
✲ x
Ejemplo 5.2. Hallar gráficamente
1 · 1 1
A1 = =
2 2 A2
2 · 2
=
2 =2
La integral vendrá definida como la suma aritmética
de las áreas correspondientes, asignado signo
negativo a las áreas situadas por debajo del eje
horizontal y positivo a las situadas por encima. Es
decir:
4
(x − 2) dx = −A1 + A2 = −
1
1 3
+2=
2 2
5
25 − x2 dx
−5
Solución. Representamos la función y = √ 25 − x2 y hallamos las áreas
correspondientes. Para ello eliminamos la raíz cuadrada.
25 − x 2 (⇒ y>0) → y 2 =25− x 2 → x 2 + y 2 =25
y =
Luego se trata de la semicircunferencia superior de radio 5 y centro el origen
de coordenadas.
✲x y
✻
A =
−5
Figura 5.5:
5
πr2 25π
=
2 2
La integral vendrá definida como el área del
semicírculo. Es decir:
5 25π
25 − x2 dx =
−5
2
Ejemplo 5.3. Calcular gráficamente
2π
0
sen xdx
Solución. Representamos la función y =senx y hallamos las áreas correspondientes.
Al ser la función simétrica respecto del eje horizontal resultan
las áreas iguales y por tanto se compensan, dando una integral nula. En
efecto.