Salvador Vera

4.8. REGLA DE LA CADENA 281
Dg
g
❘ ❘
Df
Rm Rn ✯
R
f ◦ g
Figura 4.18: Composición de funciones
Demostración. Esquemáticamente, la situación de partida es,
R m
g
−−→ R n f p
−−→ R
x0 ↦−→ y0 ↦−→ z0
(Si p = 1, la función f sería numérica, que es el objeto de estudio de este curso, sin
embargo estudiamos el caso general ya que el valor de p no afecta a la demostración del
teorema).
Por ser g diferenciable en x0, setiene:
g(x0 + h) − g(x0) =dg(h)+hɛ1(h) con lím ɛ1(h) =0 (4.10)
h→0
Consideremos ahora la imagen de x0 por g: y0 = g(x0) ∈ g(Dg) ⊆ R n . Puesto que f es
diferenciable en y0, setiene:
f(y0 + k) − f(y0) =df(k)+kɛ2(k) con lím ɛ2(h) =0 (4.11)
k→0
Elijamos
k = g(x0 + h) − g(x0) (4.12)
entonces k es una función de h que tiende a 0 cuando h tiende hacia 0. Despejando
g(x0 + h) en(4.12), se tiene: g(x0 + h) =g(x0)+k = y0 + k, y sustituyendo en (4.11),
y0 + k = g(x0 + h) y0 = g(x0) k = g(x0 + h) − g(x0)
resulta:
f g(x0 + h) ¡ − f g(x0) ¡ = df g(x0 + h) − g(x0) ¡ + kɛ2(k)
ahora bien, teniendo en cuenta que por (4.10) esg(x0 + h) − g(x0) =dg(h)+hɛ1(h),
resulta
f g(x0 + h) ¡ − f g(x0) ¡ = df dg(h)+hɛ1(h) ¡ + kɛ2(k)
yalserdf una aplicación lineal, será df dg(h)+hɛ1(h) ¡ = df dg(h) ¡ +hdf ɛ1(h) ¡ ,
con lo que resulta:
f g(x0 + h) ¡ − f g(x0) ¡ = df dg(h) ¡ + hdf ɛ1(h) ¡ + kɛ2(k) (4.13)
de donde, para h = 0, se tiene
¡ k
f ◦ g(x0 + h) − f ◦ g(x0) =df ◦ dg(h)+h df ɛ1(h) +
h ɛ2(k)
luego (4.13) se puede expresar de la forma:
f ◦ g(x0 + h) − f ◦ g(x0) =df ◦ dg(h)+hɛ(h) (4.14)
f