Salvador Vera

184 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
✲x y
✻
f p
f(x)
p(x)
f(x0)
p(x0)
x
x0
Figura 3.25:
p va a ser un polinomio que en el punto x0 va a coincidir
con f y en los alrededor de x0 va a ser muy cercano a
f
f(x0) =p(x0) → f(x) ≈ p(x)
Como valor aproximado de la función en el punto x
tomaremos el valor del polinomio en dicho punto.
3.5.2. Algunas propiedades de los polinomios
Desarrollo de un polinomio en potencias de (x − x0)
El polinomio p(x) =4− x − 2x 2 + x 3 se dice que está centrado en el origen.
El polinomio p(x) =2+3(x +1)− 2(x +1) 2 − 4(x +1) 3 que está centrado
en x0 = −1
El polinomio p(x) =3+2(x − 2) + 4(x − 2) 2 − 5(x − 2) 3 que está centrado
en x0 =2
Para centrar un polinomio en el origen basta con desarrollar los paréntesis y
simplificar la expresión. Centrar un polinomio en un punto x0 es un poco más
laborioso. No obstante, toda función polinómica se puede expresar mediante
un polinomio centrado en cualquier punto mediante la sustitución:
x =(x − x0)+x0
Ejemplo 3.40. Expresar p(x) =4− x +2x 2 + x 3 mediante un polinomio
centrado en x0 =2
Solución. Hacemos el cambio x =(x − 2) + 2 y resulta:
p(x) =4− (x − 2) − 2+2 ä (x − 2) + 2 ç 2 + ä (x − 2) + 2 ç 3 =
=4−2−(x−2)+2 ä (x−2) 2 +4(x−2)+4 ç + ä (x−2) 3 +6(x−2) 2 +12(x−2)+8 ç
De donde resulta:
p(x) = 18 + 19(x − 2) + 8(x − 2) 2 +(x − 2) 3
El desarrollo de las potencias de estos paréntesis puede resultar muy
laborioso, de ahí que se haya buscado otro método mucho más simple para
centrar un polinomio en cualquier punto. Este método se llama desarrollo
de Taylor y se basa en el conocimiento del significado de los coeficientes de
los polinomios.
Relación entre los coeficientes de un polinomio y los valores de sus
derivadas. Fórmula de Mac Laurin.
Ejemplo 3.41. Hallar la relación que existe entre los coeficientes de la
función polinómica p(x) =2+3x +5x 2 y los valores de dicha función y de
sus derivadas el el origen.