Salvador Vera

4.1. DERIVADAS PARCIALES 217
decir, para definir la derivada parcial de w con respecto a x, consideramos
que y y z son constantes y escribimos
∂w
∂x
f(x +∆x, y, z) − f(x, y, z)
= lím
∆x→0
∆x
Para definir la derivada parcial w con respecto a y, consideramos que x y z
son constante y escribimos
∂w
∂y
f(x, y +∆y, z) − f(x, y, z)
= lím
∆y→0
∆y
Para definir la derivada parcial w con respecto a z, consideramos que x y y
son constante y escribimos
∂w
∂z
f(x, y, z +∆z) − f(x, y, z)
= lím
∆z→0
∆z
Ejemplo 4.7. Hallar las derivadas parciales de la función:
f(x, y, z) =e −5z cos πx sen 4y
Solución. En cada caso, suponemos constante dos de las variables, con lo cual
se obtiene una función de una sola variable, respecto de la cual se deriva.
∂f
∂x = −πe−5z sen πx sen 4y
∂f
∂y =4e−5z cos πx cos 4y
∂f
∂z = −5e−5z cos πx sen 4y
Notación vectorial para definir las derivadas parciales. Como acabamos de ver,
el concepto de derivada parcial se extiende a funciones de tres variables f(x, y, z) dela
siguiente forma:
∂f f(x, y +∆y, z) − f(x, y, z) f(x, y + t, z) − f(x, y, z)
= lím
=lím
∂y ∆y→0
∆y
t→0
t
Análogamente se calculan las demás derivadas parciales.
Para los incremento, ∆x, ∆y, etc., en vez de usar las letras h, k, etc., se pueden usar
h1, h2, etc., o bien, podemos usar siempre la letra t.
Del mismo modo se extiende a funciones de cuatro variables f(x, y, z, u)
∂f
∂y =lím
f(x, y + t, z, u) − f(x, y, z, u)
t→0
t
Desde el punto de vista teórico, para definir las derivadas parciales en el caso general
de funciones de n variables f : D ⊆ R n → R, conviene usar notación vectorial. Para
ello consideramos los vectores e1, e2, ··· , en ∈ R n de la base canónica de R n ,cuyas
componentes son:
e1 =(1, 0, ··· , 0), e2 =(0, 1, ··· , 0), ··· , en =(0, 0, ··· , 1)