Salvador Vera

12 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
Ejemplo1.12(Desigualdades con valor absoluto). Resolver las siguientes
desigualdades:
Solución.
1. |x − 1| ≤3, 2. |2 − 4x| ≤6, 3. |x| ≥2
4. |x − 1| ≥2 5. |2x − 3| ≤−2, 6. |2x − 3| ≥−2
1. |x − 1| ≤3 ⇒−3 ≤ x − 1 ≤ 3 ⇒−2 ≤ x ≤ 4 ⇒ x ∈ ä − 2, 4 ç
2. |2 − 4x| ≤6 ⇒−6 ≤ 2 − 4x ≤ 6 ⇒−8 ≤−4x ≤ 4 ⇒ 2 ≥ x ≥−1 ⇒
⇒−1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x ∈ ä − 1, 2 ç
3. |x| ≥2 ⇒
x ≥ 2
x ≤−2
⇒ x ∈ −∞, −2 ç ∪ ä 2, +∞
4. |x − 1| ≥2 ⇒−2 ≥ x − 1 ≥ 2 ⇒−1 ≥ x ≥ 3 ⇒
5. |2x − 3| ≤−2 ⇒ No tiene solución.
x ≥ 3
x ≤−1
⇒
⇒ x ∈ ∞, −1 ç ∪ ä 3, +∞
6. |2x − 3| ≥−2 ⇒ Se cumple siempre, luego x ∈ (−∞, +∞)
Ejemplo 1.13 (Sistemas de desigualdades). Resolver el sistema de desigualdades:
|2x − 2| ≤4
|2x − 3| ≥1
Solución. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego hallamos la
intersección de los conjuntos solución.
|2x − 2| ≤4
−4 ≤ 2x − 2 ≤ 4 ⇒−2 ≤ 2x ≤ 6 ⇒−1≤ x ≤ 3
x ≥ 2
|2x − 3| ≥1
−1 ≥ 2x − 3 ≥ 1 ⇒ 2 ≥ 2x ≥ 4 ⇒ 1 ≥ x ≥ 2 ⇒
x ≤ 1
⇒
Expresión de intervalos mediante valor absoluto
⇒ x ∈ ä − 1, 1 ç ∪ ä 2, 3 ç
Cualquier intervalo se puede expresar en términos de valor absoluto de la
siguiente forma:
ä ç
a + b − a
a, b = x ∈ R/ |x − |≤b
2 2
Si m es el punto medio del intervalo [a, b], y r el radio, entonces:
|x − m| ≤r