Salvador Vera

132 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: LÍMITES
2.2.7. Teorema del encaje y de la acotación
Si una función está comprendida, en los alrededores de un punto, entre dos
quetienenelmismolímite, en dicho punto, entonces dicha función también
tiene el mismo límite en dicho punto.
f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)
lím f(x) = lím g(x)
=⇒ lím h(x) = lím f(x) = lím g(x)
x→x0 x→x0 x→x0
x→x0 x→x0
Si una función tiene límite cero, en un punto, y otra está acotada en los
alrededores del punto, entonces su producto también tiene límite cero en
dicho punto.
g(x)acotada
lím f(x) =0
⇒−k ≤ g(x) ≤ k ⇒−kf(x) ≤ f(x)g(x) ≤ kf(x) ⇒
x→x0
0 ≤ lím f(x)g(x) ≤ 0 ⇒ lím f(x) =0⇒ 0 · Acot = 0
x→x0
x→x0
Nota: Si f(x) < 0, cambiaría el sentido de la desigualdad, pero el resultado final sería el
mismo.
Ejemplo 2.31 (Calculando límites por acotación). Calcula los siguientes
límites.
1. lím
(x,y)→(0,0) (x2 + y 2 )sen 1
xy
1
3. lím (x sen
(x,y)→(0,0) y
Solución.
1. lím
(x,y)→(0,0) (x2 + y 2 )sen 1
xy
2. lím
(x,y)→(0,0)
1
3. lím (x sen
(x,y)→(0,0) y
4. lím
(x,y)→(1,−2)
x3 x2 = lím
+ y2 2. lím
(x,y)→(0,0)
1
+ y sen ) 4. lím
x (x,y)→(1,−2)
=0· Acot = 0
x 3
x 2 + y 2
(x,y)→(0,0) x
x2 x2 =0· Acot = 0
+ y2 1
+ y sen )=0· Acot + 0 · Acot = 0
x
y(x − 1) 3
(x − 1) 2 =
+(y +2) 2
y(x − 1) 3
(x − 1) 2 +(y +2) 2
(x − 1)
= lím (x − 1)y
(x,y)→(1,−2) 2
(x − 1) 2 =0· Acot = 0
+(y +2) 2
Este límite también puede hacerse mediante el cambio de variables
u = x − 1, v = y + 2 , en efecto,
lím
(x,y)→(1,−2)
y(x − 1) 3
(x − 1) 2 = lím
+(y +2) 2
(u,v)→(0,0)
(v − 2)u3 u2 =
+ v2 u
= lím (v − 2)u
(u,v)→(0,0) 2
u2 =(−2) · 0 · Acot = 0
+ v2