Salvador Vera

10 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
1. |x − 5| =4 ⇒
x − 5=4
ó
x − 5=−4
2. |x − 5| = −4 No tiene solución.
x =9
x =1
3. |x − 5| =0 ⇒ x − 5=0 ⇒ x =5
4. |x +1| =3x − 9 ⇒
x +1≥ 0
x +1=3x − 9
ó
x +1≤ 0
−x − 1=3x− 9
x ≥−1
10 = 2x
x ≤−1
8=4x
x =5
No
⇒ x =5
En general, el método más directo de atacar un problema referente a
valores absolutos requiere la consideración por separado de distintos casos,
con objeto de eliminar el valor absoluto. En particular, siempre habrá que
considerar si lo que hay dentro del valor absoluto es positivo o es negativo.
Esto hace que cuando aparecen varios valores absolutos, la casuística se
complique, ya que hay que considerar, por separado, todas las posibilidades,
en cuanto al signo, de las expresiones que hay dentro de cada uno de los
valores absolutos.
Sin embargo, en ocasiones pueden emplearse otros métodos más sencillo
que eliminen el valor absoluto, sin tener que acudir a la casuística de los signos.
Bien, acudiendo a las propiedades del valor absoluto, o bien, utilizando
la representación gráfica. Por ejemplo, la ecuación |x +1| =3x − 9 también
puede resolverse gráficamente, estudiando los puntos de corte de las gráficas
de las funciones f(x) =|x +1| y g(x) =3x − 9. Otra manera de abordar
esta ecuación es resolviendo la ecuación irracional: (x +1) 2 =3x − 9
Nota: Al resolver una ecuación con valores absolutos, cada caso supone resolver un sistema
formado por una inecuación y una ecuación. Evidentemente, la inecuación no es necesario
resolverla, ya que podemos resolver la ecuación y comprobar si las soluciones de la misma
cumplen o no la inecuación. Si la cumplen la aceptamos como soluciónysinolacumplen
la rechazamos.
Puede ocurrir que una solución rechazada en un caso, aparezca como solución valida
en otro de los casos. En tal caso se acepta la solución (siempre está la posibilidad de
comprobar las soluciones en la ecuación inicial).
Cuando se trata de resolver una inecuación con valores absolutos, entonces sí que hay
que resolver todas las desigualdades, ya que se trata de encontrar la intersección de los
conjuntos solución.
Si aparecen varios valores absolutos cada sistema tendría varias inecuaciones que correrían
la misma suerte de lo dicho anteriormente.
Ejemplo 1.10. Resolver la ecuación |x 2 − 2x − 8| = x +2
Solución. Consideramos sucesivamente los dos casos:
a) x 2 − 2x − 8 ≥ 0,
b) x 2 − 2x − 8 < 0.