Salvador Vera

252 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Ahora bien, −1 ≤ cos θ ≤ 1, luego el valor máximo del producto
−→
∇fcos θ se obtiene cuando cos θ = 1 y el valor mínimo cuando
cos θ = −1, es decir,
Cuando −→
∇f y u son vectores de la misma dirección y sentido, se tiene
θ = 0, y por lo tanto cos θ = 1, de donde,
∂f
(p) =−→ ∇f ·u =
∂u −→
∇f·u·cos 0= −→
∇f·1 · 1= −→
∇f
Cuando −→
∇f y u son vectores de la misma dirección pero de sentidos
opuestos, se tiene θ = π, y por lo tanto cos θ = −1, de donde,
∂f
(p) =−→ ∇f ·u =
∂u −→
∇f·u·cos π = −→
∇f·1 · (−1) = − −→
∇f
Y cuando −→
∇f y u son vectores perpendiculares, se tiene θ = π/2, y
por lo tanto cos θ = 0, de donde,
∂f
(p) =−→ ∇f ·u =
∂u −→
∇f·u·cos π/2 = −→
∇f·1 · 0=0
Esquemáticamente:
−→
∇f ↗ u ⇒ Duf(p) = −→
∇f(p) Máxima
−→
∇f ↗↙ u ⇒ Duf(p) =− −→
∇f(p) mínima
−→
∇f ⊥ u ⇒ Duf(p) =0
Ejemplo 4.33. La temperatura en grados Celsius, sobre la superficie de una
placa metálica, viene dada por T (x, y) =20− 4x 2 − y 2 ,midiéndose x e y
en centímetros. Desde el punto (2, 3) ¿En qué dirección crece la temperatura
más rápidamente? ¿A qué razón se produce ese crecimiento?.
Solución: La dirección de máximo crecimiento es la dirección del gradiente, y
la razón de ese crecimiento su módulo, en consecuencia hallamos el gradiente
y lo evaluamos en el punto (2, 3)
−→
∇f =(Tx,Ty) =(−8x, −2y) →
luego la dirección de máximo crecimiento es la del vector
v = −→
∇f(2, 3) = (−16, −6)
−→
∇f(2, 3) = (−16, −6)
y la razón de máximo crecimiento es el módulo de gradiente, luego,
DvT (2, 3) = −→
∇f(2, 3) = (−16, −6) =
16 2 +6 2 = √ 292 = 17 ′ 09 o /cm.