Salvador Vera

154 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
f ′ f(x) − f(x0) f(x0 + h) − f(x0)
(x0−) = lím
= lím
x→x0− x − x0 h→0− h
Para que se pueda definir la derivada por la derecha en el punto x0, la
función tiene que estar definida, al menos, en un intervalos del tipo [x0,b),
y para que exista la derivada por la izquierda, la función tiene que estar
definida, al menos, en un intervalo del tipo (a, x0].
Para que la función sea derivable las dos derivadas laterales tienen que
coincidir.
Teorema 3.1 (Coincidencia de las derivadas laterales). Una función
es derivable en un punto sii las derivadas laterales coinciden en dicho punto.
Ejemplo 3.2. Calcular las derivadas laterales de la función valor absoluto,
en el origen de coordenadas.
Solución. La función es f(x) =|x|. Luego resulta,
f ′ f(x) − f(0) |x|
(x0+) = lím
= lím
x→0+ x − 0 x→0+ x
f ′ f(x) − f(0) |x|
(x0−) = lím
= lím
x→0− x − 0 x→0− x
Luego la función no es derivable en el origen.
❅ y ✻
❅
❅
❅
✲x
Figura 3.9: f(x) =|x|
3.1.7. Derivada y continuidad
x
= lím
x→0+
= lím
x→0−
x =1
−x
x
= −1
Teorema 3.2 (Derivabilidad implica continuidad). Si una función es
derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto.
Demostración. En efecto, tenemos que:
f es derivable en x0 ⇐⇒ ∃ lím
x→x0
f es continua en x0 ⇐⇒ lím
x→x0
Con lo cual, resulta:
f derivable en x0 =⇒
lím f(x) − f(x0) = lím
x→x0
x→x0
f(x) − f(x0)
y es finito.
x − x0
f(x) =f(x0) ⇐⇒ lím f(x) − f(x0) =0
x→x0
f(x) − f(x0)
(x − x0) =f
x − x0
′ (x0) · 0=0
=⇒ f es continua en x0