Salvador Vera

48 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
lím
n→∞ an = ℓ ⇔ ∀ε>0 ∃k>0 ∀n ∈ N n>k⇒|an− ℓ| k),
todos los términos de la sucesión tienen que estar comprendidos dentro de
la franja limitada por las rectas y = ℓ − ε e y = ℓ + ε
an
ℓ + ε ℓ
ℓ − ε
Para n>klos términos de la sucesión
están todos entre ℓ − ε y ℓ + ε
123 ... k
Figura 1.24: lím an = ℓ
n→∞
Nota: Para que exista el límite, ℓ, por muy estrecha que sea la franja (ℓ−ε, ℓ+ε), siempre
se ha de poder encontrar un término a partir del cual todos los que le siguen están dentro
de la franja.
Ejemplo1.33(Determinando la convergencia o divergencia de una sucesión).
Determinar la convergencia o divergencia de las sucesiones
a) an =2+(−1) n
n
b) bn =sen nπ
2
Solución. a) Los términos de la sucesión an =2+(−1) n son
1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, ···
Como la sucesión siempre tiene términos que oscilan entre 1 y 3, resulta que
no tiene límite y en consecuencia diverge (por oscilación).
b)Los términos de la sucesión bn =sen nπ
2 son
1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, ···
Como la sucesión siempre tiene términos que oscilan entre -1 y 1, resulta
que no tiene límite y en consecuencia diverge (por oscilación).