Salvador Vera

270 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Se designa por B(x0,r), o simplemente por B, cuando no haya temor de confusión:
B(x0,r)={x ∈ R n / x − x0 0, existe una bola B de centro x0 y radio r, incluido en D, talqueF (B) B ′ .
Coordenadas y límite. Teniendo en cuenta que una función vectorial f : D⊆R n → R m
es un vector cuyas coordenadas son funciones escalares f =(f1,f2, ··· ,fm).
Es decir,
f(x1,x2, ··· ,xn) = f1(x1,x2, ··· ,xn),f2(x1,x2, ··· ,xn), ··· ,fm(x1,x2, ··· ,xn) ¡
Se tiene que:
1. Si f, conf =(f1,f2, ··· ,fm), tiene por límite ℓ, conℓ =(ℓ1,ℓ2, ··· ,ℓm), entonces
cada una de las funciones coordenadas de f tienen por límite, respectivamente,
ℓ1,ℓ2, ··· ,ℓm.
2. Si las coordenadas de f tienen por límite, respectivamente, ℓ1,ℓ2, ··· ,ℓm, entonces
f tiene por límite ℓ =(ℓ1,ℓ2, ··· ,ℓm).
En consecuencia, se puede enunciar el siguiente teorema:
Teorema 4.6. Para que f tienda a un límite ℓ, es necesario y suficiente que las coordenadas
de f tengan por límites respectivamente las coordenadas de ℓ.
Continuidad
Definición 4.15. Sean f : D⊆R n → R m y x0 ∈D(siendo D un abierto de R n ); Se dice
que f es continua en x0, si lím
x→x0
f(x) =f(x0).
En otros términos, f es continua en x0 si lím f(x)−f(x0) =0,obien,fes continua
x→x0
en x0 si, para todo ɛ>0, existe δ>0talque:
x − x0