Salvador Vera

5.8. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES 373
un cuadrado en su interior, para ello se elige la fórmula fundamental de la
trigonometría o de la trigonometría hiperbólica que convenga.
cos 2 α +sen 2 α =1 → cos 2 α =1− sen 2 α
cosh 2 α − senh 2 α =1 → cosh 2 α =1+senh 2 α
En todos estos casos, el cuadrado se elimina con la raíz, ya que el radicando
resulta positivo.
Ejemplo 5.69. Calcular la integral 1 − x2 dx
Solución. Aplicamos la sustitución x =sentytransformamos la integral en
una integral trigonométrica.
1 − x2 x =sent
dx =
= 1 − sen2 t cos tdt =
dx =costdt
2 1+cos2t
= cos t cos tdt= cos tdt =
dt =
2
t sen 2t
+ + C =
2 4
= t 2sentcos t
+ + C =
2 4
1
1
arc sen x +
2 2 x
1 − x2 + C
de donde, al deshacer el cambio, se ha tenido en cuenta que:
sen t = x → t =arcsenx, cos t = 1 − x2
Ejemplo 5.70. Calcular la integral x2 − 1 dx
Solución. Aplicamos la sustitución x = cosh t y transformamos la integral
en una integral hiperbólica.
x2 x = cosh t
2
− 1 dx =
= cosh t − 1senhtdt=
dx =senhtdt
2 cosh 2t − 1 senh 2t t
= senh t senh tdt= senh tdt=
dt = − + C =
2
4 2
= 2senhtcosh t
−
4
t 1
+ C =
2 2 x
1
x2 − 1 −
2 ln
x + x2 − 1 + C
de donde, se han tenido en cuenta las siguientes fórmulas:
senh 2 cosh 2t − 1
t = , senh 2t =2senhtcosh t
2
y al deshacer el cambio, se ha tenido en cuenta que:
cosh t = x → t = arg cosh x =ln x + x2 − 1 , senh t = x2 − 1
Ejemplo 5.71. Calcular la integral 4x − x2 dx