Salvador Vera

4.8. REGLA DE LA CADENA 277
Regla de la cadena. La regla de la cadena nos dice que “la composición de dos funciones
diferenciables es diferenciable y su derivada es el producto de las derivadas de cada una de
las funciones que se están componiendo”. Es decir, la derivada de la composición de dos
funciones es el producto de las derivadas de dichas funciones, cada una de ellas aplicada
en el punto correspondiente. Formalmente la regla de la cadena se puede enunciar de la
siguiente forma: Si g es diferenciable en un punto x0 ∈ I y f es diferenciable en g(x0) ∈ J,
entonces la composición f ◦ g es diferenciable en x0, y su derivada es
(f ◦ g) ′ (x) =f ′ g(x) ¡ g ′ (x)
que se puede expresar con la notación de Leibnitz, haciendo u = g(x) ey = f(u)
dy dy du
=
dx du dx
Función inversa. La función recíprocaoinversaasignaalasimágenes los correspondientes
originales (consiste en invertir las flechas). Sin embargo, la recíproca de una función no
siempre es otra función, basta que dos elementos distintos tengan la misma imagen para
que la recíproca no sea función, ya que asignaría a un elemento dos imágenes distintas, lo
que no está permitido para las funciones, aunque sí para las correspondencias en general.
Por lo tanto, para que la recíproca de una función sea otra función, dicha función ha de
ser inyectiva.
f
I ←− −−→ −
f −1
J y = f(x) ↔ x = f −1 (y)
Desde el punto de vista analítico para obtener la inversa bastará con despejar la variable
independiente y expresarla en función de la variable dependiente.
Formalmente podemos decir que si la función f : I ⊆ R → R es inyectiva, con rango
J ⊆ R, entonces existe la función f −1 : J ⊆ R → R, llamada “inversa”de f, tal que
f −1 f(x) ¡ = x, x ∈ I y f f −1 (y) ¡ = y, y ∈ J
Derivada de la función inversa La derivada de la función inversa es la inversa de la
derivada de la función. Formalmente se puede enunciar diciendo que si la función f es
diferenciable y tal que f ′ (x0) = 0, x0 ∈ I, entonces existe la función inversa f −1 , al menos
en un entorno de f(x0), dicha función también es diferenciable, y su derivada es:
oconlanotación de Leibnitz
dy 1
=
dx dx
dy
f −1¡ ′ f(x) ¡ = 1
f ′ (x)
o bien, y ′ x = 1
x ′ y
Funciones implícitas Si consideramos una expresión del tipo F (x, y) = 0 nos preguntamos
¿en que condiciones es posible despejar y en términos de x y establecer una función
del tipo y = f(x)?. Evidentemente no siempre es posible obtener dicha función. Por ejemplo
de x 2 + y 2 = 1 no se obtiene una función y = f(x). Cuando de F (x, y) = 0 se puede
despejar la variable y, y escribir y = f(x), se dice que esta última función está dada
implícitamente en F (x, y) =0.
4.8.2. Composición de funciones vectoriales
Para funciones de varias variables la situación es, en principio, algo más complicada.
Téngase en cuenta que dos campos escalares f, g : D ⊆ R n → R no se pueden componer,
pues la operación de composición entre funciones solamente se puede realizar cuando
el rango de una de ellas está contenido en el dominio de la otra, y los campos escalares