Salvador Vera

364CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
Para calcular la segunda integral factorizamos el denominador y descomponemos
la fracción en fracciones simples.
de donde resulta,
−x − 1
x3 −x − 1
=
− x2 x2 A
=
(x − 1) x
x 3 − x 2 = x 2 (x − 1)
Los coeficientes los calculamos dando valores a x,
B C Ax(x − 1) + B(x − 1) + Cx2
+ + =
x2 x − 1 x2 (x − 1)
x =0→−1=−B → B =1
x =1→−2=C → C = −2
x =2→−3=2A + B +4C →−3=2A +1− 8 → 2A =4→ A =2
Con lo cual resulta,
I1 =
−x − 1
x3 dx =
− x2 2
x dx+
de donde,
x 4 − x 3 − x − 1
x 3 − x 2
1
dx = x2
2
−2
dx+
x2 x − 1
dx =2ln|x|− 1
x −2ln|x−1|
1
+2ln|x|− − 2ln|x − 1| + C
x
(c) Entre las raíces del denominador las hay complejas simples, alguno
de los factores es un polinomio de segundo grado irreducible.
p(x)
q(x) =
p(x)
(x − x1)(x − x2) 2 (ax2 A
= +
+ bx + c) x − x1
B
+
x − x2
Ejemplo 5.61. Hallar la integral
8x 2 +6x +6
x 3 − 3x 2 +7x − 5 dx
C Mx+ N
+
(x − x2) 2 ax2 + bx + c
Solución. Factorizamos el denominador y descomponemos la fracción en fracciones
simples.
1 -3 7 -5
1 1 -2 5
1 -2 5 0
De donde resulta,
8x 2 +6x +6
x 3 − 3x 2 +7x − 5 =
x 3 − 3x 2 +7x − 5=(x − 1)(x 2 − 2x +5)
x 2 − 2x +5=0→ x = 2 ± √ 4 − 20
2
Sin solución.
8x2 +6x +6
(x − 1)(x2 A Mx+ N
= +
− 2x +5) x − 1 x2 − 2x +5 =
= A(x2 − 2x +5)+(Mx+ N)(x − 1)
(x − 1)(x 2 − 2x +5)