Salvador Vera

5.8. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES 371
1+t2 A B C A(t − 3)(t − 1) + Bt(t − 1) + Ct(t − 3)
= + + =
t(t − 3)(t − 1) t t − 3 t − 1 t(t − 3)(t − 1)
Los coeficientes los calculamos dando valores a x
de donde,
1/3
I =
t
t =0→ 1=3A → A =1/3
t =1→ 2=−2C → C = −1
t =3→ 10 = 6B → B =10/6 =5/3
5/3 −1 1 5
dt + dt + dt = ln |t| + ln |t − 3|−ln |t − 1| =
t − 3 t − 1 3 3
= 1
3
ln¬tg x
2
¬ + 5 x
ln¬tg
3 2 − 3¬ − ln¬tg x
2 − 1¬ + C
5.8. Integración de funciones irracionales
5.8.1. Radicales semejantes
Las integrales del tipo
ax + b
R x,
cx + d
m1/n1
,
ax + bm2/n2
, ··· ,
cx + d
ax + b
mk/nk
dx
cx + d
se convierten en racionales con el cambio de variable,
α ax + b
ax + b
= t →
cx + d cx + d = tα donde α =mcm{n1,n2, ··· ,nk}
Ejemplo 5.68. Calcular la integral
(2x − 3) 1/2
(2x − 3) 1/3 +1 dx
Solución. Expresamos las raíces con índice común.
(2x − 3) 1/2
(2x − 3) 1/3
dx =
+1
√
2x − 3
3√ dx =
2x − 3+1
y hacemos el siguiente cambio:
6 (2x − 3) 3
6 (2x − 3) 2 +1 dx = I
6√ 2x − 3=t → 2x − 3=t 6 → 2 dx =6t 5 dt → dx =3t 5 dt
de donde,
t
I =
3
t2 +1 3t5 3t
dt =
8
t2 dt = I
+1
que es una integral racional, para resolverla efectuamos la división de los
polinomios.