Salvador Vera

200 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Figura 3.28: y = x2
x 2 +1
f(−∞) = lím
x→−∞
x 2
x 2 +1 =1
f(0) = 0 → mínimo
f(+∞) = lím
x→+∞
x 2
x 2 +1 =1
Luego la función no tiene máximo.
3.6.2. Máximos y mínimos relativos o locales
Crecimiento y decrecimiento. Una función es creciente allí donde su
derivada es positiva y decreciente donde es negativa.
∀x ∈ (a, b) f ′ (x) ≥ 0 ⇒ f es creciente en (a, b)
∀x ∈ (a, b) f ′ (x) ≤ 0 ⇒ f es decreciente en (a, b)
Estudios de los máximos y mínimos locales a partir del signo de
la primera derivada.
Si la función es continua, los máximos locales se presentan donde la función
cambia de creciente a decreciente, y los mínimos locales donde cambia de
decreciente a creciente. Si la función es continua, los máximos y mínimos
relativos solamente se pueden presentar en los puntos críticos.
Figura 3.29: En un máximo la función cambia de creciente a decreciente
Ejemplo 3.60. Estudiar los extremos relativos y absolutos de la función
f(x) = −x
en todo R
1+x2 Solución. f es continua en todo R, yaque1+x2 no se anula nunca.
Puntos críticos:
f ′ (x) = −(1 + x2 )+x(2x)
(1 + x 2 ) 2
= −1 − x2 +2x 2
(1 + x 2 ) 2 = x2 − 1
(1 + x 2 ) 2