Salvador Vera

4.6. PLANO TANGENTE 265
(a) El valor aproximado de una función f(x), en un punto x, se puede
obtener sustituyendo el valor de x en la ecuación del plano tangente,
en un punto cercano x0, próximo a x. Es decir, para hallar el valor
aproximado de una función en un punto, calculamos la ecuación del
plano tangente, en un punto cercano, y sustituimos las coordenadas
del punto sobre la ecuación de dicho plano.
(b) Al pasar del punto x al punto cercano x + h, el incremento que sufre
la función
∆f = f(x + h) − f(x)
coincide, de manera aproximada, con el diferencial df . Es decir, la
diferencial de una función es una buena aproximación del incremento
Puesto que el plano tangente, y en general cualquier plano en el espacio, se
representa por una ecuación lineal en las variables x, y y z, llamamos a esta
aproximación de la función mediante su plano tangente, o lo que es lo mismo
alaaproximación del incremento por el diferencial, aproximación lineal.
Cálculo de valores aproximados
Los resultados anteriores nos sirven para calcular valores aproximados. En
efecto, supongamos que queremos calcular, aunque sea de manera aproximada,
el valor de una función en un punto (x, y), pero no sabemos calcular el
valor de la función en dicho punto, f(x, y), o dicho cálculo resulta extremadamente
complicado; y sin embargo, supongamos que sabemos calcular el valor
de la función y el de sus derivadas parciales en un punto cercano (x0,y0).
Pues bien, podemos utilizar el valor de la función y el de su derivadas parciales
en este punto (x0,y0) para calcular el valor aproximado de la función
en el punto desconocido (x, y).
Para hacer cálculos aproximados de operaciones podemos utilizar cualquiera
de las dos opciones:
(a) Para hallar el valor aproximado de una función en un punto, calculamos
la ecuación del plano tangente, en un punto cercano, y sustituimos
las coordenadas del punto sobre la ecuación de dicho plano.
f(x, y) ≈ f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x − x0)+fx(x0,y0)(y − y0)
(b) Aproximar el incremento mediante la diferencial
f(x, y) ≈ f(x0,y0)+df (x0,y0)
Hay que advertir que estas aproximaciones sólo serán validas para valores
muy cercanos al punto conocido y para funciones diferenciables.
Ejemplo 4.42. Comparar el incremento con el diferencial del área de un
rectángulo.