Salvador Vera

4.6. PLANO TANGENTE 261
2. La recta que pasa por P y que tiene la dirección de ∇F (x0,y0,z0) se conoce como
la recta normal a S en P .
Significado geométrico de la tangencia
Si la función f es diferenciable en el punto p(x0,y0), será:
f(x0+h, y0+k) =f(x0,y0)+ ∂f
∂f
r(h, k)
(x0,y0)h+ (x0,y0)k+r(h, k) con lím
∂x ∂x (h,k)→(0,0) (h, k) =0
con lo cual, poniendo h = x − x0, k = y − y0, la expresión anterior se convierte en:
f(x, y) =f(x0,y0)+ ∂f
∂f
(x0,y0)(x − x0)+ (x0,y0)(y − y0)+r(x − x0,y− y0)
∂x ∂x
donde
r(x − x0,y− y0)
lím
(x,y)→(x0,y0) (x − x0,y− y0) =0
z
Ahora bien, teniendo en cuenta la ecuación del
✻
plano tangente
f(p) •
f(x) •
✘✘
✘✘✘✘✘ ❅
✘✘
❅·
✘✘✘✘✘
✂ ✂ •zr y0
p
x0
k
•
h ❅t
✠x
❅•
x
✲ y
Figura 4.10: Plano tangente.
z = f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)
donde z representa la altura en el punto x =(x, y)
hasta el plano tangente.
Resulta que el residuo r(x − x0,y − y0) se puede
expresar como
r(x − x0,y− y0) =f(x, y) − z
Es decir, el residuo es la diferencia entre la z de la
función z = f(x, y) en el punto x =(x, y) ylaz
en el mismo punto del plano tangente a la gráfica
en p =(x0,y0)
El hecho de que f sea diferenciable en p =(x0,y0) nosólo nos dice que r es muy pequeño
en torno al punto p, sino, además, que es mucho más pequeño que la distancia de p a x,
es decir r