Salvador Vera

4.6. PLANO TANGENTE 263
✻ ∇F
•✑
✑✑✑✸∇G
✠ vT
F
G
Figura 4.12: curva en el espacio
F (x, y, z) =0
G(x, y, z) =0
Los vectores gradientes ∇F y ∇G en cualquier punto
de la curva de corte serán normales a sus respectivas
superficies y por tanto serán normales a la curva de
corte, en consecuencia el vector perpendicular a ambos
definido por su producto vectorial vT = ∇F ×∇G
serátangentealacurvadecorte,dedonde,sisuscomponentes
son vT =(v1,v2,v3) resultan
Ejemplo 4.41. Hallar la ecuación de la recta tangente y del plano normal a la curva
definida por la intersección del elipsoide x 2 +4y 2 +2z 2 =27y el hiperboloide x 2 +y 2 −2z 2 =
11 en el punto P (3, −2, 1)
Solución. Hallamos los vectores gradientes en el punto P (3, −2, 1)
F (x, y, z) =x 2 +4y 2 +2z 2
G(x, y, z) =x 2 + y 2 − 2z 2
luego, el vector tangente será:
vT =
Fx =2x
Fy =8y
Fz =4z
Fx =2x
Fy =2y
Fz = −4z
y en consecuencia
(a) Recta tangente en el punto P (3, −2, 1)
Fx =6
Fy = −16
Fz =4
Fx =6
Fy = −4
Fz = −4
i
6 ¬
j
−16
k
4 ¬ 6 −4 −4
=(80, 48, 72) = 8(10, 6, 9)
x − 3
10
(b) Plano normal en el punto P (3, −2, 1)
= y +2
6
= z − 1
9
10(x − 3) + 6(y +2)+9(z − 1) = 0
∇F (3, −2, 1) = (6, −16, 4)
∇G(3, −2, 1) = (6, −4, −4)
4.6.4. La diferencial como aproximación del incremento
Sea f : D⊆R 2 → R una función diferenciable en el conjunto abierto D de
R 2 . Entonces, para cada x ∈Dtendremos
f(x + h) =f(x)+ ∂f
∂x h1 + ∂f
∂x h2
r(h)
+ r(h) donde lím
h→0 h =0
Vimos en la definición (4.3) que a la parte lineal en h1 y h2 de esta expresión,
λ(h1,h2) =fxh1 + fyh2, se le llama diferencial de la función f en el punto
x =(x, y) y se denota por df (x, y), o simplemente por df . Es decir,
df = ∂f
∂x h1 + ∂f
∂y h2