Salvador Vera

178 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Ejemplo 3.32. Calcular, por los dos métodos, el siguiente límite:
Solución.
1
lím(cos
x) x
x→0 2
1. lím(cos
x)
x→0 1
x2 = ä 1 ∞ç
Llamamos y al límite: y = lím(cos
x)
x→0 1
con lo que resulta,
ln y =lnlím(cos
x)
x→0 1
x2 ln cos x
=lím
x→0 x2 ä0ç
− sen x
= =lím
0 x→0 2x cos x =
−x −1
=lím =
x→0 2x cos x 2
de donde, el límite pedido es:
2. Por el otro método sería:
1
lím(cos
x) x
x→0 2 = ä 1 ∞ç = e lím
x→0
y = e −1
2 = 1
x
Ejemplo 3.33. Calcular: lím xtg
x→0 +
e 1
2
x 2 , tomamos ln y operamos,
= 1 √ e
1
x2 (cos x − 1) = e lím
− sen x
x→0 2x = e −1
2
Solución. lím
x→0 + xtg x = ä 0 0ç
Llamando y al límite: y = lím
x→0 + xtg x , tomando ln y operando, resulta,
ln y =ln lím
x→0 + xtg x = lím
x→0 + tg x ln x = ä 0 ·∞ ç = lím
x→0 +
de donde,
= lím
x→0 +
1
x
−1
sen 2 x
ln x
cot x
== lím
x→0 +
− sen2 x
= lím
x x→0 +
−x2 x
y = e 0 =1
Ejemplo 3.34. Calcular los siguientes límites:
ä∞ç
= =
∞
= lím x =0
x→0 +
1. lím(1
+ 2
x→0 x +3 x ) 1
x 2. lím
x→+∞ (1 + 2x +3 x ) 1
x 3. lím
x→−∞ (1 + 2x +3 x ) 1
x
Solución.