Salvador Vera

1.4. LÍMITE DE SUCESIONES 53
Simplificación de sumas.
Algunas sumas se pueden simplificar expresando sus términos de forma
telescópica, es decir, como la diferencia de dos términos consecutivos, de
manera que al sumar se eliminan los términos intermedios.
Ejemplo1.37(Simplificando sumas). Calcula el siguiente límite.
1 1
1
lím + + ···+
=
n→∞ 1 · 2 2 · 3 n(n +1)
1 1 1 1 1
= lím 1 − + − + ···+ − =1
n→∞ 2 2 3 n n +1
Cálculo de límites por acotación.
Teorema 1.4 (Teorema del encaje para sucesiones). Si
lím
n→∞ an = ℓ = lím
n→∞ bn
y existe un entero k tal que an ≤ cn ≤ bn para todo n>k,entonces
Esquemáticamente podemos escribir,
lím
n→∞ cn = ℓ
ℓ ← an ≤ cn ≤ bn → ℓ ⇒ cn → ℓ
Ejemplo1.38(Encajando sucesiones). Calcular el siguiente límite.
(n − 1)!
lím
n→∞ (1 + √ 1)(1 + √ 2) ···(1 + √ n)
Solución. Teniendo en cuenta las siguientes desigualdades,
(n − 1)!
0 ≤
(1 + √ 1)(1 + √ 2) ···(1 + √ n) =
√ √ √
1 2 ··· n − 1
(1 + √ 1)(1 + √ 2) ···(1 + √ n) ≤
Resulta:
≤ (1 + √ 1)(1 + √ 2) ···(1 + √ n − 1)
(1 + √ 1)(1 + √ 2) ···(1 + √ n) =
1
1+ √ → 0
n
(n − 1)!
lím
n→∞ (1 + √ 1)(1 + √ 2) ···(1 + √ n) =0