Salvador Vera

4.4. DIFERENCIABILIDAD 247
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Continuas
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Existen derivadas parciales
Diferenciables
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Parciales
continuas
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Diferenciables
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Figura 4.5: Parciales cont⇒diferenciable ⇒continua Diferenciable ⇒existen parciales
Proposición 4.4. Toda función polinómica
f : R 2 → R, f(x, y) =
es diferenciable en todo punto (x0,y0) ∈ R 2
Proposición 4.5.
n
i,j=0
aijx i y j
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(a) La suma y el producto de funciones diferenciables es otra función diferenciable.
(b) El cociente de dos funciones diferenciables es otra función diferenciable
en todos aquellos puntos que no anulen el denominador.
Proposición 4.6. La composición de dos funciones diferenciables es otra
función diferenciable.
Ejemplo 4.28. Estudiar la diferenciabilidad de las funciones
Solución.
(a) f(x, y) = x2 − xy +1
x 2 + y 2
(c) h(x, y) =x 2 e x2 +y2 +sen
(b) g(x, y) =e x2 +y 2
1 − y2
1+x 2
(a) La función es diferenciable en R 2 −{(0, 0)} por tratarse del cociente de
dos funciones polinómicas y el único punto que anula el denominador
es el (0, 0).
(b) La función es diferenciable en todo R 2 por tratarse de la composición
de dos funciones diferenciables.
(c) La función es diferenciable en todo R 2 por tratarse de suma de funciones
diferenciables.
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