Salvador Vera

316 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
y sustituyendo el valor obtenido en f(x, y), resulta una función de una sola
variable.
Es decir,
de donde,
f(x, y) =x 2 +(−x +1) 2 = x 2 + x 2 − 2x +1=2x 2 − 2x +1
h(x) =2x 2 − 2x +1
h ′ (x) =4x − 2=0 → x =1/2 → y =1/2
Luego el mínimo de la función es
f(1/2, 1/2) = 1/4+1/4 =1/2
z
✏ ✏✏✏✏✏✏✏
f(x, y)
y
x
✏✏✏✏✏✏✏✏
p( 1 1
2 , 2 )
•
x + y − 1=0
Figura 4.27: Cálculo de extremos mediante un corte vertical
Para comprobar que se trata de un mínimo acudimos a la derivada segunda
h ′′ (x) = 4, en consecuencia h ′′ (1/2) = +4, luego se trata de un mínimo.
Nota: Este ejemplo se ha resuelto reduciéndolo a una sola variable. Con el
método de los multiplicadores de Lagrange se trata de resolver el problema
sin reducirlo a una sola variable, es decir, sin despejar la variable y de la
ecuación g(x, y) =0.
b) Mediante las curvas de nivel. Consideramos las curvas de nivel de la
función f(x, y),
f(x, y) =z
Como se trata de encontrar el máximo o el mínimo de la función f(x, y), se
trata de encontrar el máximo o el mínimo valor de z. Para ello imaginamos
que las curvas de nivel se “desplazan” en la dirección del crecimiento de z.
Como el punto solución (x, y) también ha de cumplir la ecuación de la
restricción g(x, y) = 0, deberá estar en la intersección de una curva de nivel
con la gráfica de g(x, y) = 0, luego, se trata de encontrar:
a) Si buscamos un mínimo: El primer punto en que las curvas de nivel
tocan a la gráfica de la restricción g(x, y) =0