Salvador Vera

118 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: LÍMITES
Funciones de tres o más variable. La gráfica de funciones de tres o
más variables se define de forma análoga al caso de una y dos variables. Así,
en general, la gráfica de una función de n variables f : Df ⊆ R n → R, se
define como el conjunto
gráf f = { (x1,x2,...,xn,y) ∈R n+1 / (x1,x2,...,xn) ∈Df ,y= f(x1,x2,...,xn) }
Ahora bien, podemos visualizar la gráfica de una función de una y de dos
variables, sin embargo, para n ≥ 3lagráfica de la función ya no puede
ser visualizada, pues se encuentra en el espacio (n + 1)-dimensional (≥ 4dimensional)
Superficies de nivel. El concepto de curva de nivel, definido para funciones
de dos variables, se puede extender a funciones de tres variables y definir
las superficies de nivel. Si f es una función de tres variables y c es una
constante, entonces a la gráfica de la ecuación f(x, y, z) =c se le llama
superficie de nivel de la función f. En cada punto de una superficie de nivel
dada, la función f toma un valor constante, f(x, y, z) =c. Este concepto se
puede generalizar a cualquier dimensión, aunque, para n ≥ 3notengaun
significado gráfico.
Ejemplo 2.17. Describir las superficies de nivel de la función
f(x, y, z) =x 2 + y 2 + z 2
Solución. Cada superficie de nivel satisface una ecuación de la forma
x 2 + y 2 + z 2 = c.
Luego las superficies de nivel son esferas de centro el origen de coordenadas
y radio la raíz cuadrada de c. Si damos varios valores a c obtendremos varias
esferas concéntricas.
2.1.6. Otras representaciones de las funciones de varias variables
En Matemáticas a los conceptos teóricos se les buscan representaciones que
nos permitan visualizar, medianteimágenes gráficas, sus propiedades abstractas,
con objeto de comprenderlas y recordarlas mejor. Así, para tener una
visualización gráfica de las propiedades de las funciones, hemos imaginado
que las funciones de una variable representan curvas en el plano y las de dos
variables superficies en el espacio. Sin embargo, este sistema no nos permite
visualizar las funciones de tres o más variables y tenemos que conformarnos
con imaginar una generalización de los conceptos aprehendidos en dos o tres
dimensiones.
En realidad una función no es ni una curva ni una superficie, sino una
correspondencia entre magnitudes, y según sea el significado físico que le
demos a esas magnitudes (espacio, tiempo, temperatura, etc.) la función