Salvador Vera

4.8. REGLA DE LA CADENA 279
Ejemplo 4.51. Hallar la funcióncompuestadelafunción f(x, y, z) =xy 2 z 3 − xyz con
las funciones x = g1(t) =e t , y = g2(t) =sent y z = g3(t) =t 2
Solución. Consideramos la función vectorial
luego, en esquema, resulta
g(t) = g1(t),g2(t),g3(t) ¡ =(e t , sen t, t 2 )
f(x, y, z) =xy 2 z 3 − xyz
g(t) =(e t , sen t, t 2 )
de donde, la composición buscada, será:
R 3 f −→ R
R g −→ R 3
R g −→ R 3 f −→ R
t ↦→ (x, y, z) ↦→ w
h(t) =(f ◦ g)(t) =f g(t) ¡ = f g1(t),g2(t),g3(t) ¡ = f(e t , sen t, t 2 )=
= e t sen 2 t (t 2 ) 3 − e t sen tt 2 = t 6 e t sen 2 t − t 2 e t sen t
En la práctica se pueden simplificar los cálculos, sustituyendo directamente:
f(x, y, z) =f(e t , sen t, t 2 )=e t sen 2 t (t 2 ) 3 − e t sen tt 2 = t 6 e t sen 2 t − t 2 e t sen t = h(t)
Ejemplo 4.52. Hallar la funcióncompuestadelafunción f(x, y) =xy 2 − xy con las
funciones g(t) = √ t
Solución. Este caso es distinto de los dos anteriores, ya que aquí, para poder componer,
la función f tiene que actuar primero, y después la g. En efecto, en esquema, resulta
f(x, y) =xy 2 − xy
g(t) = √ t
R 2 f −→ R
R g −→ R
R 2 f −→ R g −→ R
(x, y) ↦→ t ↦→ z
de donde, la composición buscada, será:
h(t) =(g◦ f)(x, y) =g f(x, y) ¡ Ô
= f(x, y) = xy2 − xy
Nótese que la función resultante de la composición solamente estará definida para aquellos
puntos (x, y) en los cuales se cumpla que xy 2 − xy ≥ 0, es decir,
Dh = {(x, y) ∈ R 2 /xy 2 − xy ≥ 0}
En la práctica, también se pueden simplificar los cálculos sustituyendo directamente, pero
en este caso, sustituimos en la función g:
g(t) =g f(x, y) ¡ Ô
= f(x, y) = xy2 − xy = h(x, y)
Caso general. En general, para componer la función z = f(x1,x2, ··· ,xn) tendremos que
sustituir las n variables x1,x2, ··· ,xn, respectivamente, por las funciones g1,g2, ···gn que
las conecten con otras variables u1,u2, ··· ,um, donde g1,g2, ···gn pueden ser funciones
de una o varias variables (todas de las mismas). Así, si consideramos las n funciones
x1 = g1(u1,u2, ··· ,um)
x2 = g2(u1,u2, ··· ,um)
.
xn = gn(u1,u2, ··· ,um)
podemos sustituirlas en la función z = f(x1,x2, ··· ,xn) y obtener la función compuesta:
z = f g1(u1,u2, ··· ,um),g2(u1,u2, ··· ,um), ··· ,gn(u1,u2, ··· ,um) ¡