Salvador Vera

180 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Solución.
1. Dominio. La función está definida en todo R, yaquesi3+e 1
x =0,
resulta e 1
x = −3 que no es posible.
2. Continuidad. La función es continua en todo R, salvo quizás en x =0,
lím f(x) = lím
x→0 + x→0 +
2+cos1 x
3+e 1
x
= 2+Ac
∞
lím f(x) = lím
x→0− x→0− 2+cos1 x
3+e 1 =
x
2+Ac
3+0
Luego la función no es continua en x =0.
Ejemplo 3.37. Dada la función:
Hallar f ′ (0) y f ′′ (0)
f(x) =
= Ac
∞ =0
= Sin límite
3
x − sen x
x3 si x = 0
1
6
si x =0
=Sinlímite
Solución.
Continuidad: La función es continua en todo R, salvo quizás en x =0,
x − sen x
lím
x→0 x3 = ä0
0
ç 1 − cos x
=lím
x→0 3x2 luego la función es continua en todo R.
Derivada en x = 0: Aplicamos la definición.
f ′ f(x) − f(0)
(0) = lím
x→0
= ä0
0
x
=lím
x→0
ç 6 − 6cosx− 3x
=lím
x→0
2
24x3 =lím
x→0
= ä0
0
ç =lím
x→0
x2 1
=
2 · 3x2 6
x − sen x
x3 − 1
6 6x − 6senx− x
=lím
x
x→0
3
6x4 = ä0ç
6senx− 6x
=lím
0 x→0 72x2 = ä0ç
=
0
6cosx− 6
=
144x
ä0ç
−6senx
=lím
0 x→0 144 =0
Derivada segunda en x = 0: Hallamos f ′ (x), para x = 0
f ′ (x) = (1 − cos x)x3 − (x − sen x)3x 2
x 6
Para calcular f ′′ (0), aplicamos la definición de derivada:
= x − x cos x − 3x +3senx
x4 =
= −2x − x cos x +3senx
x4 =