Salvador Vera

220 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Análogamente, la función g(y) = f(x0,y) representa la curva que se
obtiene de la intersección de la superficie z = f(x, y) con el plano x = x0
z = f(x, y)
x = x0
z = f(x0,y)=g(y)
La derivada parcial de la función f, respecto de la variable y, en el punto p
representa la pendiente de la tangente a la curva g(y) =f(x0,y) en el punto
P correspondiente de la gráfica, es decir, la inclinación de la superficie en la
dirección del eje y.
En un lenguaje más informal, diremos que los valores de ∂f/∂x y ∂f/∂y
en el punto (x0,y0) representan la pendiente de la superficie en el punto
(x0,y0,z0) en las direcciones de los ejes x e y, respectivamente.
Ejemplo 4.9. Hallar la pendiente a la superficie f(x, y) =16− x 2 − 4y 2 en
el punto P (3, −1, 3), en las direcciones de los ejes x e y.
Solución. En la dirección del eje Ox, la pendiente viene dada por
∂f
∂x
∂f
= −2x → (3, −1) = −6 → tan α = −6
∂x
En la dirección del eje Oy, la pendiente viene dada por
∂f
∂y
∂f
= −8y → (3, −1) = 8 → tan β =8
∂y
El que la derivada parcial en una dirección sea positiva y en otra negativa
significa que, desde el punto p, en la dirección del eje Ox la función decrece,
mientras que en la dirección del eje Oy crece.
4.1.7. Continuidad y derivadas parciales
Recordemos que para n = 1, es decir, para las funciones de una variable, de
la existencia de la derivada en un punto se deriva también que la función
es continua en ese punto. Sin embargo, para funciones de varias variables,
la existencia de las derivadas parciales no garantiza la continuidad de una
función.
En efecto, la existencia de fx depende del comportamiento de la función
sólo en la dirección del eje x, y la existencia de fy del comportamiento de la
función sólo en la dirección del eje y, mientras que la continuidad depende del
comportamiento de la función en todos los puntos del entorno. Esto significa
que una función puede tener derivadas parciales en un punto aunque no sea
continua en dicho punto.
Tenemos pues, que cuando n ≥ 2, incluso de la existencia de todas las
derivadas parciales en cierto punto, no se deduce la continuidad en ese punto.