Salvador Vera

4.5. GRADIENTE 251
Nota. Para funciones de una variable y = f(x) teníamos que:
df = f ′ (x)dx = f ′ (x) · h
Para funciones de varias variables tenemos que:
dx
df = fxdx + fydy =(fx,fy) = ∇f · h
dy
Si se comparan ambas expresiones, se observa que el gradiente, ∇f, puede
pensarse como la generalización del concepto de derivada para funciones de
varias variables. Si bien, hay que advertir que mientras que la derivada de
una función de una variable en un punto es un número, la derivada de una
función de varias variables es un vector.
4.5.2. Vector gradiente y derivada direccional
A partir del vector gradiente, la derivada direccional de una función diferenciable
f en un punto p en la dirección del vector unitario u , se puede
expresar como un producto escalar
∂f
(p) =−→ ∇f ·u
∂u
Es decir, la derivada direccional de la función f en el punto p en la dirección
del vector unitario u es el producto escalar del vector gradiente de
f en el punto p por el vector u. Este hecho permite obtener las siguientes
propiedades
Propiedades: Si la función f es diferenciable, se tiene:
(a) Si en un punto p el gradiente es cero, entonces todas las derivadas
direccionales en ese punto valen cero.
∇f(p) =0 ⇒ Dvf(p) =0, cualquiera que sea v
Es decir, si todas las derivadas parciales son nulas, entonces todas las
derivadas direccionales también lo son.
(b) La derivada direccional es máxima en la dirección y sentido del gradiente,
mínima en sentido contrario, y nula en la dirección perpendicular
al gradiente, además, el valor máximo de esta derivada es el
módulo del gradiente.
En efecto, teniendo en cuenta que el producto escalar de dos vectores
es el producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo
que forman, y llamando θ al ángulo que forman el gradiente −→
∇f yel
vector de dirección u, resulta
∂f
(p) =−→ ∇f ·u =
∂u −→
∇f·u·cos θ = −→
∇f·1 · cos θ = −→
∇fcos θ