Salvador Vera

1.5. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 69
Teorema 1.8 (Teorema del valor intermedio). Si f es continua en
[a, b] y C es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe al menos
un número c entre a y b tal que f(c) =C.
El teorema afirma que si x toma todos los valores entre a y b, entonces
la función continua f debe tomar todos los valores entre f(a) yf(b).
Corolario 1.2 (Teorema de los ceros de Bolzano). Si f es continua
en [a, b] y Sig f(a) = Sigf(b), entonces existe al menos un número c entre
a y b tal que f(c) =0.
Nota: Con Sig f(a) = Sigf(b), queremos indicar que f(a) yf(b) tienen signos distintos.
Es decir; o bien, f(a) < 0yf(b) > 0; o bien, f(a) > 0yf(b) < 0.
Corolario 1.3 (Intervalos de signo constante). Una función solamente
puede cambiar de signo al pasar por por puntos en los que sea nula o puntos
en los que sea discontinua
Ejemplo1.49(Probando la existencia de raíces). Probar que
1. La ecuación x 3 +2x − 1 = 0 tiene, al menos, una raíz real en el
intervalo (0, 1)
2. La ecuación x 3 − 3x +1=0 tiene, al menos, una raíz real
Solución. a) Consideramos la función f(x) =x 3 +2x−1, que al ser polinómica
es continua en todo R, y en consecuencia en [0, 1], además, se tiene
f(0) = −1 < 0 y f(1) = 2 > 0
luego, aplicando el Teorema 1.2 de los ceros de Bolzano, podemos concluir
que existe al menos un c en (0, 1) en el cual f(c) =0.
b) Consideramos la función f(x) =x 3 − 3x + 1, que al ser polinómica es
continua en todo R. En esta ocasión no se nos da el intervalo, en consecuencia
lo determinamos nosotros. Buscamos, para ello, un punto donde la función
sea negativa y otro donde sea positiva. Así,
f(0) = +1 > 0 y f(−2) = −8+6+1=−1 < 0
En consecuencia la ecuación tiene, al menos, una raíz en el intervalo (−2, 0).
1.5.6. Límites infinitos
Comencemos realizando nuevamente el ejemplo 1.44.Allísedijoqueellímite
no existía como número real, pero que la situación planteada merecía un
tratamiento particular. Veámoslo.