Salvador Vera

3.2. FUNCIÓN DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIÓN. 169
Aplicando las propiedades de los logaritmos resulta,
Derivando
ln y =3lnx + 2 ln(sen x) − ln(x +1)− 2ln(x − 2)
y ′
y
de donde, despejando y ′ resulta:
y ′ =
3 2cosx 1 2
= + − −
x sen x x +1 x − 2
x 3 sen 2 x
(x +1)(x − 2) 2
3.2.7. Derivadas de orden superior
3 2cosx 1 2
+ − −
x sen x x +1 x − 2
A la derivada de una función se le llama derivada primera; a la derivada de
la derivada primera, derivada segunda; y así sucesivamente.
y ′′ =(y ′ ) ′ = d
dx (y′ )= d
dx
dy
dx = d2y dx2 Ejemplo 3.23. Hallar la derivada tercera de la función:
Solución.
f(x) =x cos x
f ′ (x) =cosx − x sen x
f ′′ (x) =− sen x − sen x − x cos x = −x cos x − 2senx
f ′′′ (x) =− cos x + x sen x − 2cosx = x sen x − 3cosx
Ejemplo 3.24. Hallar, por inducción, una fórmula para la derivada n-sima
de la función:
f(x) =lnx
Solución.
Luego, podemos suponer que,
f ′ (x) = 1
= x−1
x
f ′′ (x) =−x −2
f ′′′ (x) =+2x −3
f iv (x) =−3 · 2x −4
f (n) (x) =(−1) n−1 (n − 1)! x −n
Para que quede demostrado tenemos que probar que f (n+1) (x) sigue la misma
regla. En efecto,
f (n+1) (x) = f (n) (x) ′ =(−1) n−1 (n − 1)!(−n)x −n−1 =(−1) n n! x −(n+1)
con lo que queda demostrada la proposición.