Salvador Vera

5.1. LA ESTIMACIÓN DE UN ÁREA. SUMAS DE RIEMANN. 339
Si b − a es un número entero, entonces podemos dividir el intervalo ä a, b ç en
(b − a)n partes iguales, con lo cual la base de los rectángulos infinitesimales
b − a 1
resultantes sería ∆x = =
(b − a)n n . Con lo cual xk = a + k
. Y resulta:
n
(b−a)n
1
lím
n→∞ n
k=1
f
k
a + =
n
b
a
f(x) dx
La clave para determinar los límites de integración ä a, b ç ,está en conocer el
primer y el último valor de f(x), es decir, f(a) yf(b). Más que la fórmula,
debe buscarse el proceso de integración, utilizando un gráfico auxiliar. Unas
veces habrá que pensar que sólo la unidad se ha dividido en n partes y otras
que todo el intervalo de integración se ha dividido en las n partes.
π
Ejemplo 5.11. Calcular lím
n→∞ n
π
sen
n +sen2π
n
+ ···+sen(n − 1)π
n
Solución. Podemos suponer que el intervalo ä 0,π ç lo hemos dividido en n
partes iguales. La base de los rectángulos infinitesimales será ∆x = π/n, y
los puntos de la partición x1 = π/n, x2 =2π/n, ..., xn = nπ/n. Falta un
término, pero no afecta al resultado, ya que sen nπ
n
π
n
0 π
n
π
n
2π
n
π
n
···
3π
n ··· π
=senπ =0.
de donde,
π π
lím sen
n→∞ n n +sen2π
− 1)π
+ ···+sen(n =
n n
π π
= lím sen
n→∞ n n +sen2π
π
+ ···+sennπ = sen xdx=
n n 0
= − cos π + cos 0 = 1 + 1 = 2
π − cos x
0 =
Como regla práctica para determinar los límites de integración y el correspondiente
incremento de x puede utilizarse la siguiente: Una vez determina-
, tenemos:
do el valor de x = kπ
n
x = kπ
n
Ejemplo 5.12. Calcular lím
k =0 → x =0 ⇒ a =0
k = n → x = π ⇒ b = π
k =1 → x = π
n
n
n→∞
k=1
1
n sen
kπ
n
⇒ ∆x = π
n