Salvador Vera

164 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
(b) Calculamos la derivada en x = 0, aplicando la definición:
f ′ f(x) − f(0)
(0) = lím
x→0
sen x
x − 1
=lím
x→0
sen x − x
=lím
x→0 x2 x − 0
x
aplicando L’Hôpital, dos veces, resulta,
cos x − 1
=lím =
x→0 2x
ä0ç
− sen x
=lím =0
0 x→0 2
con lo cual la función derivada es:
f ′ (x) =
x cos x − sen x
x 2 si x = 0
0 si x =0
= ä0
0
En este caso, la derivada en el punto x =0también se podía haber
calculado a partir de la derivada en los puntos x = 0, en efecto,
f ′ x cos x − sen x
(0) = lím
x→0 x2 ç =
= ä0ç
cos x − x sen x − cos x
=lím
0 x→0 2x
=lím
x→0
−x sen x
2x
=lím
x→0
= ä0ç
=
0
− sen x
=0
2
El hecho de que f ′ (0) = 0, significa que la gráfica tiene tangente horizontal
en el punto x =0,sihubiéramos inclinado la curva habríamos obtenido
otro resultado.
Figura 3.19: gráfica de f(x) =
sen x
x
3.2.4. Derivada de funciones definidas a trozos
Para derivar una función definida a trozos
f(x) si x ≤ c
h(x) =
g(x) si x>c
1. Se deriva la función en cada uno de los intervalos abiertos en los que
esté definida.
2. Se estudia la derivabilidad de la función en los puntos de separación y
en los extremos de los intervalos cerrados, si los hubiera.