Salvador Vera

190 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Solución.
f(x) =(1+x) r f(0) = 1
f ′ (x) =r(1 + x) r−1 f ′ (0) = r
f ′′ (x) =r(r − 1)(1 + x) r−2 f ′′ (0) = r(r − 1)
f ′′′ (x) =r(r − 1)(r − 2)(1 + x) r−3 f ′′′ (0) = r(r − 1)(r − 2)
f iv (x) =r(r − 1)(r − 2)(r − 3)(1 + x) r−4 f iv (0) = r(r − 1)(r − 2)(r − 3)
Resulta el siguiente polinomio de Taylor,
(1+x) r ≈ 1+rx+
r(r − 1)
x
2!
2 +
r(r − 1)(r − 2)
x
3!
3 +
y de manera general el n-simo polinomio será:
(1 + x) r ≈ 1+
n
k=1
r(r − 1)(r − 2) ···(r − k +1)
x
k!
k
r(r − 1)(r − 2)(r − 3)
x
4!
4
de donde resulta:
(1 + x) √ √ √
√
2 2( 2 − 1)
≈ 1+ 2x +
x
2!
2 √ √ √
2( 2 − 1)( 2 − 2)
+
x
3!
3 +
√ √ √ √
2( 2 − 1)( 2 − 2)( 2 − 3)
+
x
4!
4
1
1+x =(1+x)−1≈1+ −1(−2)
x
2!
2 + −1(−2)(−3)
3!
=1− x + x 2 − x 3 + x 4
1 −1
2 2
1
2
−1 −3
2
√
1+x =(1+x) 1/2 ≈ 1+
2! x2 2 + x
3!
3 +
4!
=1+ 1 1
x −
2 2 · 4 x2 1 · 3
+
2 · 4 · 6 x3 1 · 3 · 5
−
2 · 4 · 6 · 8 x4
(1 + x) 3 3 · 2
=1+3x +
2! x2 3 · 2 · 1
+ x
3!
3 −
x3 + −1(−2)(−3)(−4)
x
4!
4 =
1
2
−1
2
−3 −5
2 2
x 4 =
3 · 2 · 1 · 0
x
4!
4 =1+3x +3x2 + x3 +0
Si n es un entero y positivo el desarrollo se interrumpe, ya que siempre
llegará un momento en que n − k + 1 = 0, precisamente para k = n +1.Es
decir, el desarrollo de (1 + x) n sólo llegará hastaeltérmino xn, yaquelos
restantes se anulan. Se obtiene así, el Binomio de Newton.
(1 + x) n n
n k
= x
k
k=0
El polinomio de Taylor del cociente de dos polinomios
Existen funciones para las que el polinomio de Taylor se puede obtener de
una manera artificial, sin necesidad de tener que hacer las derivadas de la
función, es el caso del cociente de dos polinomios, cuyo polinomio de Taylor