Salvador Vera

1.5. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 77
f(x) está
aquí
Para todo x aquí
N
ε
ε
f
y
ℓ
x
y
ℓ
f
ε
ε
M
Para todo x aquí
Figura 1.38: lím f(x) =ℓ, lím f(x) =ℓ
x→−∞ x→+∞
Definición 1.32 (Asíntotas horizontales). Si
lím f(x) =ℓ o lím f(x) =ℓ
x→−∞ x→+∞
entonces la recta y = ℓ se llama asíntota horizontal de la gráfica de f.
x
f(x) está
aquí
Nota: La asíntota por la derecha y la asíntota por la izquierda pueden coincidir o no.
Ahora bien, la gráfica de una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales,
una por la derecha y otra por la izquierda.
Los límites en el infinito comparten muchas propiedades con los límites
de funciones en un punto x0 y con los límites de sucesiones.
Proposición 1.18 (Propiedades algebraicas de los límites en el infinito).
Son ciertas las siguientes propiedades:
1. Constante: lím c = c
x→+∞
2. Múltiplo escalar: lím
x→+∞
3. Suma o diferencia: lím
x→+∞
4. Producto: lím
x→+∞
f(x)
5. Cociente: lím
x→+∞ g(x) =
ä rf(x) ç = r ä lím
x→+∞ f(x)ç , r ∈ R
ä ç
f(x) ± g(x) = lím f(x) ± lím
x→+∞ x→+∞ g(x)
ä ç
f(x) · g(x) = lím f(x) · lím
x→+∞ x→+∞ g(x)
lím
x→+∞ f(x)
lím
x→+∞
6. Potencia: lím
x→+∞ [f(x)]r å
= lím
x→+∞ f(x)
7. Raíces: lím
x→+∞
n
f(x) = n lím
x→+∞ f(x)
g(x) , si lím
x→+∞
Las mismas propiedades se dan cuando x →−∞
è r
g(x) = 0