Salvador Vera

314 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
|Hf( −1
2
1
, )| =
3
3 3 −1
¬ 3 e−1/27 2
3 e−1/27
0 y fxx > 0 → es un mínimo.
−1
e−1/27
3 e−1/27
¬ =(4
1
−
9 9 )e−1/27 = 3
9 e−1/27 >
b) Este ejemplo puede resolverse de una manera mucho más fácil teniendo
en cuenta que la función z = e t es monótona, y, en consecuencia, los puntos
críticos de la función compuesta z = e g(x,y) coinciden con los puntos críticos
de la función g(x, y) que figura en el exponente, y que es mucho más fácil
de estudiar que la función compuesta. Además, al ser creciente la función
exponencial (a más más) se conserva la naturaleza de los puntos críticos. En
consecuencia podemos estudiar los puntos críticos de la función
g(x, y) =x 2 y − xy 2 + xy,
que figura en el exponente, y endosar los resultados a la función compuesta
f(x, y) =e x2 y−xy 2 +xy . En este caso, los puntos críticos vendrán dados por
las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones.
gx(x, y) ≡ 2xy − y 2 + y =0
gy(x, y) ≡ x 2 − 2xy + x =0
y(2x − y +1)=0
x(x − 2y +1)=0
Que es el mismo sistema de ecuaciones anterior, cuyas soluciones son:
P1(0, 0), P2(−1, 0), P3(0, 1), P4( −1 1
,
3 3 )
Para determinar si se trata de máximoomínimo, hallamos la matriz hessiana.
gxx gxy
Hg(x, y) =
gyx gyy
Para lo cual calculamos las derivadas parciales segundas
gxx =2y
gxy =2x − 2y +1
gyy = −2x
Como puede verse, las ventajas sobre el método anterior, aquí son notable.
Con lo cual resulta que:
|Hf(0, 0)| = ¬ 0 1
1 0¬
= −1 < 0 → es un punto silla.
|Hf(−1, 0)| = ¬ 0 −1
−1 2¬
= −1 → es un punto silla.
|Hf(0, 1)| = ¬ 2 −1
−1 0¬
= −1 → es un punto silla.