Salvador Vera

62 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
−1
y
1
−1
1
Figura 1.29: lím sen = No existe
x→0 x
x
2
π
2
3π
2
5π
2
7π
2
9π
2
11π
x → 0
f(x) 1 -1 1 -1 1 -1 No tiene límite
Para probar que el límite no existe, también podemos encontrar dos sucesiones
diferentes con límite cero tales que sus imágenes tengan límites difer-
entes.
{xn} →0
{x ′ n}→0
Porejemplo,paralasucesión
mientras que
1
x
{f(xn)} →ℓ1
{f(x ′ n)} →ℓ2 = ℓ1
{xn} = { 1 1 1 1
} = { , , , ···}→0setiene
nπ π 2π 3π
1
1
{f(xn)} = {f } = {sen } = {sen (nπ)} = {0, 0, 0, ···}→0
nπ
1/nπ
mientras que para la sucesión
2 2 2 2
{xn} = { } = { , , , ···}→0setiene
(2n − 1)π π 3π 5π
2
2
{f(xn)} = {f
} = {sen
} =
(2n − 1)π
1/(2n − 1)π
(2n − 1)π
= {sen
} = {1, 1, 1, ···}→1 = 0
2
Definición 1.24 (La definición ε − δ de límite). Se dice que el límite de
la función f en el punto x0 es ℓ, y se denota por
lím f(x) =ℓ
x→x0
si para cada ε>0 existe un δ>0 tal que
|f(x) − ℓ| 0:∀x ∈ R, 0 < |x − x0|