Salvador Vera

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252 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES Ahora bien, −1 ≤ cos θ ≤ 1, luego el valor máximo del producto −→ ∇fcos θ se obtiene cuando cos θ = 1 y el valor mínimo cuando cos θ = −1, es decir, Cuando −→ ∇f y u son vectores de la misma dirección y sentido, se tiene θ = 0, y por lo tanto cos θ = 1, de donde, ∂f (p) =−→ ∇f ·u = ∂u −→ ∇f·u·cos 0= −→ ∇f·1 · 1= −→ ∇f Cuando −→ ∇f y u son vectores de la misma dirección pero de sentidos opuestos, se tiene θ = π, y por lo tanto cos θ = −1, de donde, ∂f (p) =−→ ∇f ·u = ∂u −→ ∇f·u·cos π = −→ ∇f·1 · (−1) = − −→ ∇f Y cuando −→ ∇f y u son vectores perpendiculares, se tiene θ = π/2, y por lo tanto cos θ = 0, de donde, ∂f (p) =−→ ∇f ·u = ∂u −→ ∇f·u·cos π/2 = −→ ∇f·1 · 0=0 Esquemáticamente: −→ ∇f ↗ u ⇒ Duf(p) = −→ ∇f(p) Máxima −→ ∇f ↗↙ u ⇒ Duf(p) =− −→ ∇f(p) mínima −→ ∇f ⊥ u ⇒ Duf(p) =0 Ejemplo 4.33. La temperatura en grados Celsius, sobre la superficie de una placa metálica, viene dada por T (x, y) =20− 4x 2 − y 2 ,midiéndose x e y en centímetros. Desde el punto (2, 3) ¿En qué dirección crece la temperatura más rápidamente? ¿A qué razón se produce ese crecimiento?. Solución: La dirección de máximo crecimiento es la dirección del gradiente, y la razón de ese crecimiento su módulo, en consecuencia hallamos el gradiente y lo evaluamos en el punto (2, 3) −→ ∇f =(Tx,Ty) =(−8x, −2y) → luego la dirección de máximo crecimiento es la del vector v = −→ ∇f(2, 3) = (−16, −6) −→ ∇f(2, 3) = (−16, −6) y la razón de máximo crecimiento es el módulo de gradiente, luego, DvT (2, 3) = −→ ∇f(2, 3) = (−16, −6) = 16 2 +6 2 = √ 292 = 17 ′ 09 o /cm.
4.5. GRADIENTE 253 Hay que hacer notar que aunque el gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de la temperatura, no por eso apunta al lugar más caliente de la placa. Es decir, el gradiente proporciona una solución local al problema. Una vez abandonada ese posición, la dirección de máximo crecimiento puede cambiar, ya que la trayectoria de máximo crecimiento no tiene por qué ser lineal.
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