Salvador Vera

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 319
Dichos puntos críticos vendrán determinados por las soluciones del sistema:
Lx =0
Ly =0
Lλ =0
fx + λgx =0
fy + λgy =0
g(x, y) =0
El procedimiento más cómodo para resolver el sistema consiste en eliminar
λ entre las dos primeras ecuaciones y sustituir el resultado en la tercera.
En el proceso de resolución del sistema hay que procurar evitar perder soluciones
en las simplificaciones. Por ejemplo, de la ecuación λx= x se obtienen
dos soluciones x =0yλ = 1, mientras que si “tachamos” la x perdemos la
solución x =0.
Para determinar la naturaleza de los puntos críticos podemos seguir dos
procedimientos:
a) Función implícita. Consiste en suponer que el problema se ha resuelto por
sustitución de la variable, sin resolverlo por dicho método, pero estudiando la
naturaleza de los puntos críticos como si así se hubiera hecho. En el supuesto
de que la ecuación g(x, y) =0definay como función implícita respecto de la
variable x, en un entorno del punto crítico (x0,y0). Es decir, y = h(x), con
y0 = h(x0). Podemos suponer que hemos sustituido, en f(x, y), y por su valor
y = h(x), con lo que obtenemos una función de una sola variable f ∗ (x) =
f x, h(x) . La naturaleza del punto crítico (x0,y0) enf(x, y) condicionado
por g(x, y) = 0, será la del punto crítico x0 en f ∗ . Es evidente que la función
f(x, y) poseeunmáximo (resp., mínimo) condicionado por g(x, y) =0,en
(x0,y0) si y solamente si la función f ∗ (x) =f x, h(x) posee un máximo
(resp., mínimo) en x0. Con lo cual el estudio de la naturaleza de los puntos
críticos se hace en una función de una sola variable, acudiendo al signo
de su segunda derivada f ′′ x0,h(x0),h ′ (x0),h ′′ (x0) , sin que para ello sea
necesario conocer la expresión de y = h(x), puesto que h(x0), está dado,
por el punto crítico; y h ′ (x0) yh ′′ (x0), se obtienen directamente a partir de
g(x, y) = 0, en virtud del teorema de la función implícita.
El método se generaliza a más de dos variables de manera natural. Así,
La función f(x, y, z) poseeunmáximo (resp., mínimo) condicionado por la
restricción g(x, y, z) = 0, en (x0,y0,z0) si y solamente la función f ∗ (x, y) =
f x, y, h(x, y) posee un máximo (resp., mínimo) en (x0,y0). Con lo cual
el estudio de la naturaleza de los puntos críticos se hace en una función de
una variable menos, acudiendo al signo de su hessiano (ello siempre que la
ecuación g(x, y, z) = 0 defina implícitamente z = h(x, y), en un entorno del
punto (x0,y0)). Así,
Hf ∗ (x0,y0) =
¬ f ∗ xx f ∗ xy
f ∗ yx f ∗ yy¬
donde no es necesario conocer la expresión z = h(x, y), y los valores de z,
zx, zy, zxx, zxy y zyy, en el punto (x0,y0), necesarios para el cálculo de dicho
hessiano, se determinan mediante la derivación implícita.