Salvador Vera

284 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Aquí se ha seguido el orden alfabético de las variables x → y → z.
Sin embargo, en la práctica, cuando el número de variables es reducido, no
se suele seguir este orden, ya que se acostumbra a utilizar letras distintas
sin subíndices. Para varias variables, más acorde con la notación práctica
hubiera sido seguir con el orden t → x → z, con lo que hubiera resultado:
z = f(x1, ··· ,xn)
x1 = x1(t1, ··· ,tm)
. xn = xn(t1, ··· ,tm)
⇒
∂z
∂t1
∂z
∂tm
= ∂f ∂x1
+ ···+
∂x1 ∂t1
∂f
.
∂xn
∂xn ∂t1
= ∂f ∂x1
+ ···+
∂x1 ∂tm
∂f
∂xn
Veamos la materialización de esta fórmula a los distintos casos concretos.
Regla de la cadena con una variable independiente
Si la función g depende de una sola variable, tendríamos la situación siguiente:
R g
−−→ Rn f
−−→ R
t ↦→ (x1, ··· ,xn) ↦→ z
donde g es una función de n funciones coordenadas, cada una de ellas dependiendo
de una sola variable t. Al hacer la composición con f, se obtiene
la función f ◦ g que depende, también, sólo de t. Para estas funciones, las
derivadas parciales de las fórmulas (4.15) del teorema anterior son derivadas
totales, quedando como:
d
dt (f ◦ g)(t) =(f ◦ g)′ n ∂f dgi
(t) = g(t) (t) (4.18)
∂xi dt
donde gi,i=1, 2, ··· ,n, son las funciones coordenadas de g.
Que se puede expresar, de manera esquemática, de la forma:
dz
dt
i=1
∂f dx1 ∂f dxn
= + ···+
∂x1 dt ∂xn dt
Es decir, de manera esquemática, pensando en términos de sustitución de
las variables, tenemos:
z = f(x1, ··· ,xn)
x1 = x1(t)
.
xn = xn(t)
dz
⇒ dt
∂f dx1 ∂f dxn
= + ···+
∂x1 dt ∂xn dt
La suma que aparece en la igualdad (4.18) también puede expresarse
como un producto interior de dos vectores, de la siguiente forma:
d
∂f ∂f
f ◦ g (t) = g(t) ,...,
dt
∂x1
∂xn
g(t) DZ
dx1/dt
.
dxn/dt
∂xn
∂tm
= ∇f g(t) · g ′ (t)