Salvador Vera

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 305
4.10. Extremos de las funciones de varias variables
4.10.1. Introducción
Funciones de una variable
La función f : I ⊆ R → R, definida en el intervalo abierto I de R, se dice que tiene un
máximo (mínimo) local o relativo en un punto x0 ∈ I si en un entorno Vx0 de x0 se tiene
f(x0) ≥ f(x) (f(x0) ≤ f(x), respectivamente) para todo x en Vx0. En otras palabras, f
tiene un máximo (mínimo) local en x0 si f(x0) es el valor más grande (más pequeño) de
la función en torno a x0.
y
f(x1)
f(x0)
y = f(x)
P
x0
Figura 4.22: y = f(x) tiene un mínimo local en x = x0 yunmáximo local en x = x1.
Una condición necesaria para que la función f tenga un extremo (máximo o mínimo)
local en x0 es que, si f ′ (x0) existe, entonces f ′ (x0) = 0. Geométricamente esta condición
significa que si la gráfica de la función es suave en x0, su recta tangente en dicho punto
debe ser horizontal. Es decir, en un extremo local la gráfica de la función o no tiene recta
tangente, o si la tiene es una recta horizontal.
4.10.2. Definiciones
Máximos y mínimos absolutos.
Los valores f(x0,y0) yf(x1,y1) tal que f(x0,y0) ≤ f(x, y) ≤ f(x1,y1) para
todo (x, y) enD se conocen como mínimo absoluto y máximo absoluto de f
en la región D.
Teorema de existencia del máximo y del mínimo absoluto. Toda
función continua, definida en una región cerrada y acotada, alcanza, en dicha
región, un valor máximo absoluto y un mínimo absoluto.
Máximo y mínimo relativo.
Definición 4.21 (Extremo local). Sea f : D⊆R n → R una función
definida en el conjunto abierto D de R n . Se dice que f tieneunmáximo
(mínimo) local o relativo en el punto x0 ∈Dsi f(x0) ≥ f(x) (f(x0) ≤ f(x)
respectivamente) para toda x en una bola B de centro en x0.
f(x0,y0) esmínimo relativo ⇔ f(x, y) ≥ f(x0,y0) ∀(x, y) ∈Bx0
Q
x1
x