Salvador Vera

370CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
Solución. La función es impar respecto al sen x, por tanto, hacemos el cambio
cos x = t, de donde resulta,
1
dx =
sen x
cos x = t → sen x = √ 1 − t 2
− sen xdx= dt → dx = −dt
=
1
√ 1 − t 2
Que es una función racional,
1
t 2 − 1 =
−dt
√ dx =
1 − t2 = −dt
√ 1 − t 2
sen x
−dt
dx =
1 − t2
=
dt
t2 dx = I
− 1
1 A A A(t − 1) + B(t +1)
= + =
(t +1)(t−1) t +1 t − 1 (t +1)(t−1) Los coeficientes los calculamos dando valores a x
x =1→ 1=2B → B =1/2
x = −1 → 1=−2A → A = −1/2
de donde,
−1/2
I =
t +1 dt+
1/2 −1 1
1
dt = ln |t+1|+ ln |t−1| =
t − 1 2 2 2 ln¬
t − 1
t +1¬
+C =
= 1
2 ln¬
cos x − 1
cos x +1¬
+ C
dx
Ejemplo 5.67. Hallar la integral
(2 + cos x − 2senx)senx
Solución. Hacemos el cambio general tg(x/2) = t, con lo cual resulta,
dx =
2 dt
1+t 2 sen x =
de donde,
dx
(2 + cos x − 2senx)senx =
dt
=
2 t
1+t 2
cos x =
1 − t2
1+t 2
1
1 − t2 4 t 2 t
(2 + − )
1+t2 1+t2 1+t2 1+t2 2+2t2 +1− t2 − 4t
1+t2 t
=
2 dt
=
1+t2 t(t2 dt = I
− 4t +3)
que es una integral racional, para resolverla la descomponemos en fracciones
simples.
t 2 − 4t +3=0→ t = 4 ± √ 16 − 12
2
= 4 ± √ 4
2
= 4 ± 2
2 =
3
1