Salvador Vera

40 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
4. Definir el dominio de f −1 como el recorrido de f.
Ejemplo 1.27 (Deshaciendo operaciones). Calcular la recíproca de las siguientes
funciones
a) f(x) =x +3 b) f(x) =3x b) f(x) =5x 3 +2
Solución. Las tres funciones son inyectivas y están definidas para todos los
números reales, en consecuencia, sus correspondencias recíprocas son funciones.
Para calcularlas, partimos de x y deshacemos las operaciones, en el
orden inverso al que están dadas. Así,
a) La función f supone sumar 3. En consecuencia, su recíproca consistirá en
restar 3.
f(x) =x +3 ⇒ f −1 (x) =x − 3
b) La función f supone multiplicar por 3. En consecuencia, su recíproca
consistirá endividir por 3.
c)La función f supone:
f(x) =3x ⇒ f −1 (x) =x/3
1 o ) Elevar al cubo 2 o ) Multiplicar por 5 3 o ) Sumar 2
En consecuencia, su recíproca consistirá en:
1 o )Restar2 2 o ) Dividir por 5 3 o ) Extraer la raíz cúbica.
Luego, f −1 (x) = 3
Ö
x − 2
5
Ejemplo 1.28 (Hallando la función recíproca). Hallar,siexisten,lasfunciones
inversas de:
a) f(x) =x 2
b) f(x) =x 2 con Df = {x ∈ R/x≥ 0}
c) f(x) =x 2 con Df = {x ∈ R/x≤ 0}
Solución. a) La función f(x) =x 2 con dominio Df = R no es inyectiva y
en consecuencia la correspondencia inversa no es una función. En efecto, la
función f es la función f = {(x, x 2 ); x ∈ R}, yfácilmente se ve que no es
uno a uno. En efecto, f(2) = f(−2) = 4, y en consecuencia los dos pares
ordenados (2, 4) y (−2, 4) pertenecen a f. En general, se tiene
f(x1) =f(x2) ⇒ x 2 1 = x 2 2 ⇒
x1 = x2
x1 = −x2
b) En este caso, al haberse restringido el dominio de la función, exclusivamente,
a los números no negativos, la función resulta inyectiva. En efecto,
f(x1) =f(x2) ⇒ x 2 1 = x 2 2 ⇒ x1 = x2