Salvador Vera

296 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
de donde, resulta:
J(f ◦ g)(1, 1, 1) =
2 3 0
0 1 6
1 0
1
1
0
1 =
1 1 1
2 5
3
6 7 7
(b) Aplicando previamente la composición, resulta:
(f ◦ g)(x, y, x) =f g(x, y, z) ¡ = f(xy, yz, x + y + z) = x 2 y 2 + y 3 z 3 ,yz+(x + y + z) 2 − 1 ¡
de donde, la derivada de la composición es la matriz:
de donde resulta:
(f ◦g)(1, 1, 1) =
J(f ◦ g) =
2xy 2
2x 2 y 2 +3y 2 z 3
3y 3 z 2
2(x + y + z) z +2(x + y + z) y +2(x + y + z)
2xy 2
2x 2 y 2 +3y 2 z 3
3y 3 z 2
2(x + y + z) z +2(x + y + z) y +2(x + y + z)
(1,1,1)
=
2 5
3
6 7 7
que coincide con la obtenida mediante la regla de la cadena.
El teorema que establece rigurosamente la regla de la cadena en el caso general puede
enunciarse de la siguiente forma:
Teorema 4.13. Sea f : Df R n → R p una función definida en el abierto Df de R n y
g : Dg R m → R n una función definida en el abierto Dg de R m tal que g(Dg) Df .
Si g es diferenciable en x0 ∈Dg y f es diferenciable en g(x0) ∈Df entonces la función
f ◦ g : Dg R m → R p es diferenciable en x0 y su derivada viene dada por la matriz:
J(f ◦ g)(x0) =Jf g(x0) ¡ Jg(x0)
La demostración puede verse en [2, Pita]
4.9. Funciones implícitas
4.9.1. Funciones de una variable
La ecuación de una curva en el plano puede expresarse bien en forma explícita,
y = f(x),obienenformaimplícita, F (x, y) = 0. No obstante, si tenemos
una ecuación de la forma F (x, y) = 0, no siempre representa ésta una función.
Es decir, dada la ecuación F (x, y) = 0 nos planteamos la cuestión de
si es siempre posible despejar y en términos de x y dejar establecida la función
y = f(x). La respuesta a esta cuestión es negativa. En efecto: De la
expresión x 2 +y 2 −1 = 0 no podemos establecer una función y = f(x) despejando
y en términos de x, yaquex 2 + y 2 = 1 define dos funciones, a saber,
y = f1(x) = √ 1 − x 2 e y = f2(x) =− √ 1 − x 2 . La ecuación F (x, y) =0
siempre representa una relación, esto es, el conjunto de todos los pares que
satisfacen la ecuación. No obstante, nos planteamos la siguiente pregunta
¿cuándo la relación definida por F (x, y) = 0 es también una función? En
otras palabras, ¿cuándo la ecuación F (x, y) = 0 puede resolverse explícitamente
respecto a y en función de x, obteniéndose solución única?
La cuestión anterior puede plantearse en términos de curvas de nivel.
Así, podemos preguntarnos lo siguiente, dada la función z = F (x, y), ¿es su