Salvador Vera

4.6. PLANO TANGENTE 259
podemos construir la ecuación anterior, pero en este caso dicha ecuación
no representa el plano tangente, sino simplemente un plano que pasa por el
punto (x0,y0).
Al mismo resultado llegamos sabiendo que el vector vp =(−fx, −fy, 1)
es perpendicular al plano buscado. En este caso será vp · −→ px = 0, y en
consecuencia obtenemos el mismo resultado.
de donde,
−fx(x0,y0) · (x − x0) − fy(x0,y0) · (y − y0)+z − z0 =0
z − z0 = fx(x0,y0) · (x − x0)+fy(x0,y0) · (y − y0)
que es el mismo resultado anterior.
Ejemplo 4.37. Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide z =
x 2 + y 2 en el punto P (2, −1; 5)
Solución. Hallamos el gradiente en el punto p(2, −1)
zx =2x zx(2, −1) = 4
∇z(2, −1) = (4, −2)
zy =2y zy(2, −1) = −2
de donde: z − 5=4(x−2) − 2(y + 1) o bien, simplificando, 4x − 2y − z =5
(b) Superficies dadas de forma implícita F (x, y, z) =0
Supongamos que la superficie viene definida de manera implícita, mediante
la ecuación F (x, y, z) = 0. Si la función viene definida de manera explícita
z = f(x, y), fácilmente puede convertirse a la forma implícita. En efecto,
dada una superficie de ecuación z = f(x, y), igualando a cero (o a una
constante) obtenemos la ecuación, z − f(x, y) = 0, y la podemos considerar
definida de manera implícita. Por tanto tenemos la ecuación z − f(x, y) =0
que puede considerarse como una “superficie de nivel”de una función de tres
variables F (x, y, z) = 0, siendo F (x, y, z) =y − f(x, y), con lo cual en cada
punto (x, y, z) el vector gradiente de esta función será un vector normal a la
superficie dada.
vp = ∇F
En consecuencia, el plano tangente a la superficie en el punto P (x0,y0,z0)
será elplanoquecontieneaP y tiene por vector normal a ∇F (x0,y0,z0).
Para hallar su ecuación, tomamos un punto genérico X(x, y, z) del plano, y
tendrá queser∇F (x0,y0,z0) ⊥ −→
PX, y en consecuencia su producto escalar
ha de ser cero ∇F (x0,y0,z0) · −→
PX = 0, luego su ecuación será:
∂F
∂F
∂F
(x0,y0,z0)·(x−x0)+ (x0,y0,z0)·(y−y0)+
∂x ∂y ∂z (x0,y0,z0)·(z−z0) = 0 (4.5)