Salvador Vera

3.3. LÍMITE DE FUNCIONES 175
ningún punto del intervalo (a, b), entonces, si existe el lím
x→a +
f ′ (x)
existe el lím
x→a +
f(x)
g(x)
y además ambos coinciden
Ejemplo 3.28. Calcula los siguientes límites
e
1. lím
x→0
x − 1
sen 2x
1 − x +lnx
2. lím
x→1 1+cosπx
3. lím
x→0
4. lím
x→∞
5. lím
x→∞
ä0ç
= =lím
0 x→0
ex 1
=
2 cos 2x 2
ä0ç
= =lím
0 x→1
= ä0
0
sen x ä0ç
= =lím
x + x2 0 x→0
e x
x 2 + x
x 1
3
ln x
= ä∞
∞
ç = lím
x→∞
ä∞ç
= = lím
∞ x→∞
−1+ 1
x
−π sen πx
ç =lím
x→1
cos x 1
=
1+2x 1 =1
e x
2x +1
2
1
3x− 3
1
x
= ä∞
∞
= lím
x→∞
g ′ (x) también
ä0ç
−x +1
= =lím
0 x→1 −πx sen πx =
−1
−π sen πx − π2 −1
=
x cos πx π2 x
3x 2
3
ç e
= lím
x→∞
x
2
= lím
x→∞
= +∞
2 =+∞
x 1
3
3 =+∞
Simplificación del límite. Siempre que sea posible, antes de abordar la
Regla de L’Hôpital, es conveniente intentar simplificar el límite con objeto
de que no se complique con la derivación. Para ello se sacan fuera del límite
los factores que tengan un valor numérico.
Ejemplo 3.29. Calcular el siguiente límite
Solución.
(1 + cos x)(x
lím
x→0
3 − 3) sen x
(x2 − x)cosx
(1 + cos x)(x
lím
x→0
3 − 3) sen x
(x2 − x)cosx
= 2(−3)
1
= ä0ç
=lím
0 x→0
lím
x→0
(1 + cos x)(x3 − 3)
· lím
cos x x→0
cos x 1
=(−6)(
2x − 1 −1 )=6
sen x
x 2 − x =
El primer límite lo hemos resuelto directamente por sustitución,ysólo hemos
aplicado L’Hôpital en el segundo limite, lo que ha simplificado notablemente
los cálculos.