Salvador Vera

362CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, que en este caso
ambas resultan inmediatas; la primera por ser polinómica, y la segunda por
ser la derivada de un logaritmo.
3 2 2x +3x − 6x − 12
dx = (2x+3)dx+
x 2 − 4
Ejemplo 5.58. Hallar la integral
2x
x 2 − 4 dx = x2 +3x+ln|x 2 −4|+C
2x 3 − 5x 2 − 4x +13
x 2 − 4x +4
Solución. Efectuamos la división de los polinomios,
2x 3 − 5x 2 − 4x +13 x 2 − 4x +4
−2x 3 +8x 2 − 8x 2x +3
3x 2 − 12x +13
−3x 2 +12x − 12
1
Por consiguiente, aplicando la prueba de la división, resulta:
2x 3 − 5x 2 − 4x +13
x 2 − 4x +4
=2x +3+
1
x 2 − 4x +4
Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, que en este caso
ambas resultan inmediatas; la primera por ser polinómica, y la segunda por
ser elemental.
2x 3 − 5x 2 − 4x +13
x 2 − 4x +4
1
(2x +3)dx +
dx =
x2 dx =
− 4x +4
= x 2 1
+3x +
(x − 2) 2 dx = x2 +3x− 1
+ C
x − 2
(a) El denominador tiene sólo raíces reales simples.
p(x)
q(x) =
p(x)
A
= +
(x − x1)(x − x2) ···(x − xn) x − x1
B
+ ···+
x − x2
N
x − xn
Ejemplo 5.59. Hallar la integral
x 2 +3x − 4
x 2 − 2x − 8 dx
Solución. Efectuamos la división de los polinomios,
x 2 +3x − 4 x 2 − 2x − 8
−x 2 +2x +8 1
5x +4
dx
→ x2 +3x− 4
x2 5x +4
=1+
− 2x − 8 x2 − 2x − 8