Salvador Vera

262 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
x0
x ✠
z ✻
f(p) •
p
•
z0
y0
vT
✲
✲ y
Figura 4.11: curva en el espacio
(a) Recta tangente en el punto P (1, 1, 1)
Las coordenadas de un punto genérico X(x, y, z) dela
curva vendrán dadas en función del parámetro t, resultando
X x(t),y(t),z(t) ¡ . En consecuencia, el vector
tangente en dicho punto genérico será
vT = x ′ (t),y ′ (t),z ′ (t) ¡ ,
de donde resultan
(a) Recta tangente en el punto P (x0,y0,z0)
x − x0
x ′ y − y0
=
(t0) y ′ z − z0
=
(t0) z ′ (t0)
(b) Plano normal en el punto P (x0,y0,z0)
x − 1
1
(b) Plano normal en el punto P (1, 1, 1)
x ′ (t0)(x−x0)+y ′ (t0)(y−y0)+z ′ (t0)(z−z0) =0
= y − 1
2
= z − 1
3
1(x − 1) + 2(y − 1) + 3(z − 1) = 0
Ejemplo 4.40. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva
en el punto donde corta al plano yz
x = t − 2 y =3t 2 +1 z =2t 3
Solución. En el punto donde la curva corta al plano yz será x =0,luegot − 2=0,de
donde t = 2. En consecuencia.
x ′ (t) =1
y ′ (t) =6t
z ′ (t) =6t 2
t =2→ P (0, 13, 16)
x ′ (2) = 1
y ′ (2) = 12
z ′ (2) = 24
de donde,
(a) Recta tangente en el punto P (0, 13, 16)
(b) Plano normal en el punto P (0, 13, 16)
x y − 13 z − 16
= =
1 12 24
vT =(1, 12, 24)
x + 12(y − 13) + 24(z − 16) = 0 → x +12y +24z − 540 = 0
Curvas dadas como intersección de dos superficies
Sean las superficies definidas por las ecuaciones F (x, y, z) =0yG(x, y, z) =0.Dichas
superficies se cortarán en la curva definida por el sistema de ecuaciones:
x − x0
(a) Recta tangente en el punto P (x0,y0,z0) = y − y0
= z − z0
(b) Plano normal en el punto P (x0,y0,z0) v1(x − x0)+v2(y − y0)+v3(z − z0) =0
v1
v2
v3