Salvador Vera

1.3. FUNCIONES 35
Hay que advertir que, en general, la composición de funciones no es
conmutativa, es decir, en la generalidad de los casos será f ◦g = g◦f,incluso,
puede suceder que esté definida la composición en un orden y no en el otro.
Sin embargo, sí se cumple la propiedad asociativa f ◦ (g ◦ h) =(f ◦ g) ◦ h.
Composición de funciones reales de una variable real. Componerdos
funciones consiste en aplicar la segunda función al resultado de la primera.
Ahora bien, desde el punto de vista analítico, este concepto puede tener
una segunda lectura. Analíticamente, la composición de funciones, también
significa sustituir una función en la otra. Es decir, si tenemos la función
y = f(x) que establece la dependencia entre y y x, y la función x = g(t),
que establece la dependencia entre x y t, podemos sustituir esta última en
la primera y obtener y = f g(t) . A la función así obtenida (que envía t a
y) se le llama composición de f con g ysedenotaporf ◦ g. Obsérvese que
el orden en que se escribe la composición f ◦ g es el inverso al orden en que
actúan las funciones (primero g, después f).
Conviene tener siempre presente esta doble visualización de la composición
de funciones: como aplicación sucesiva de dos funciones, y como sustitución
de la variable por una función de otra variable. En esquema sería lo
siguiente:
(a) Como aplicación sucesiva de funciones:
(b) Como sustitución de la variable:
g f
t•
❘
x
•
❘
•y
✯
f ◦ g
Figura 1.16: Composición de funciones
y = f(x)
x = g(t)
y = f g(t)
Es evidente, como ya se ha dicho, que para poder componer dos funciones,
en su totalidad, el rango de la primera ha de estar contenido en el
dominio de la segunda g(Dg) ⊆Df , en caso contrario, después de aplicar g
no podríamos aplicar f. Sin embargo, esta restricción no es necesaria para
poder realizar, parcialmente, la composición de las funciones, sólo que, en
este caso, habrá que reducir el dominio de la composición a los puntos del
dominio de la primera que tienen su imagen en el dominio de la segunda.
Desde el punto de vista formal la composición, de funciones reales de una
variable real, puede enunciarse de la siguiente forma: Dadas las funciones